算法学习day53

1.力扣1143.最长公共子序列

1.1 题目描述

题目描述：

给定两个字符串text1和text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

例 1:

输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”

输出：3

解释：最长公共子序列是 “ace”，它的长度为 3。

例 2:

输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”

输出：3

解释：最长公共子序列是 “abc”，它的长度为 3。

例 3:

输入：text1 = “abc”, text2 = “def”

输出：0

解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

1.2分析

动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i] [j] : 长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i] [j]

2.确定递推公式

当text1[i - 1]与text2[j - 1]相同那么就找到了一个公共元素，所以dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] + 1

当text1[i - 1]与text2[j - 1]不相同，就往下看text1[0， i - 2]与text2[0，j - 1]的最长公共子序列和text1[0， i - 1]与text2[0，j - 2]的最长公共子序列，取最大。

代码：

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]){
    dp[i][j] = dp[i-1]dp[j-1] + 1;
}else{
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}

3.dp数组如何初始化

test1[0 , i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i] [0] =0;同理dp[0] [j] = 0

其他下标随递推公式覆盖，统一初始为0。

代码:

vector<vector<int>> dp(text1.size()+1, vector<int>(text2.size()+1 ,0));

4.确定遍历顺序

从前往后，从上到下。

5.举例推导dp数组

最后红框dp[text1.size()] [text2.size()] 为最终结果。

1.3 代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        // 初始化dp数组
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        
        // 遍历text1和text2
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                // 如果当前字符相等，那么最长公共子序列长度加1
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } 
                // 如果当前字符不相等，取text1[0， i - 2]与text2[0，j - 1]的最长公共子序列和
                // text1[0， i - 1]与text2[0，j - 2]的最长公共子序列的最大值
                else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        // 返回text1和text2的最长公共子序列
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

2.力扣1035.不相交的线

2.1 题目描述

题目描述：

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下A和B中的整数。

现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

2.2 分析

要求A[i] == B[j] 且直线不能相交

直线不能相交说明在字符串A中找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

相交情况如图：
A = [1 , 4 , 2] B=[1 , 2, 4]

分析完毕：求两个字符串的最长公共子序列的长度。与第一题一样。

2.3 代码

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        // 定义一个二维数组dp，用来记录最长公共子序列的长度
        // dp[i][j]表示A串中前i个元素和B串中前j个元素的最长公共子序列的长度
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        
        // 依次遍历A和B中的每个元素
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {  // 如果A[i-1]和B[j-1]相等，那么它们一定在最长公共子序列中
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;  // dp[i][j]的值就是dp[i-1][j-1]的值加1
                } else {  // 如果A[i-1]和B[j-1]不相等，那么它们一定不在最长公共子序列中
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);  // dp[i][j]的值就是dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的最大值
                }
            }
        }
        
        // 最后返回dp[A.size()][B.size()]，即A和B的最长公共子序列的长度
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};

3.力扣53. 最大子序和

3.1 题目描述

题目描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大和为6。

3.2 分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i]。

2.确定递推公式

dp[i]可以由以下两个方向推导出来：

(1)dp[i - 1] + nums[i]，nums[i]加入当前连续子序列和

(2)nums[i]，从头开始计算当前连续子序列和

递推公式:dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.dp数组如何初始

显然dp[0] = nums[0]

4.确定遍历顺序

从前往后遍历

5.举例推导dp数组

3.3 代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0; // 如果数组为空，则返回0
        vector<int> dp(nums.size()); // 定义dp数组，用来存储包括当前位置的最大子序和
        dp[0] = nums[0]; // 初始化dp[0]为nums[0]
        int result = dp[0]; // result用来保存dp数组的最大值
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 根据递推公式，计算dp[i]
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 更新result为dp[i]和当前result的最大值
        }
        return result; // 返回最终的result
    }
};

3.参考资料

[代码随想录]