3D数学几个概念的介绍

前言

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如今，在像Unity3D, Unreal等优秀的3D引擎中，开发者已经不再需要关心大多数数学算法和公式，但是基础的数学知识还是非常有必要了解的。在这里，介绍了电脑3D技术开发中最基础的一些数学概念。希望可以解答一些初学者的疑惑。

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1. 坐标系

相信这是一个所有上过初中的人都了解的概念。XY轴组成直角坐标系，形成一个二维的空间。现在我们谈的是三维空间，那么再加一个Z轴，XYZ三轴互相垂直，形成一个三维的空间。在这个坐标系中的任意一点，都会有（X, Y, Z）三个值对应，如(0, 0, 0)就是坐标系的原点。坐标系的一般概念就到此为止了。

注：以后的所有概念都是在假想的一个三维坐标系（空间）中描述。坐标系这个词一般也用“空间”代替。

1. 标量与向量

这里的标量是指只有大小的量，如有一点P，它的位置是(10, 30, 40)。

这里的向量是指有大小方向的量，如有向量a, 它的值是(10, 30, 40)。

疑惑之处：上述的P跟a一眼看上去好像是一样的，都是(10, 30, 40)，这是怎么回事？其实这只是它们的表现，关键是它们背后的意义。点P不用多说，三个数字是指位置。而向量a在加法时是指，让点P的X轴位置移动+10, Y轴位置移动+30, Z轴位置移动+40，形成新的点P0。就是这样，向量是用来做运算的，单独存在没有意义，当然向量与向量之间也可以运算，以得到新的向量。在3D技术中，向量的运算将是重点！

2. 齐次矩阵

在3D空间中，将一个标量（如点Ｐ的位置）或向量进行旋转，缩放和平移统称为变换（transform）。然而旋转与缩放自成体系，叫仿射变换，可以用同一个3x3的矩阵表示，也就是说，点P 乘以一个3x3的矩阵就是可以得到旋转和缩放后的点P0。但是，平移要另外与一个平移向量再做一次加法或减法运算。数学家们找到了一个方法，把平移向量放进仿射矩阵的最下面一行。那么一个3x3的矩阵添加一行后，就成了4x3的矩阵了。为了让它成整齐的正方形，就在这个矩阵的最后加了一列，这列数字都为1，不会影响计算结果。现在这个矩阵成了4x4，又整齐了，就叫齐次矩阵了。不过点P也要同样加上一列成为(X, Y, Z, 1)，这样才能与4x4的矩阵进行运算。

3. 矩阵的逆，  单位矩阵

矩阵的逆：矩阵只有乘法，没有除法。A矩阵想除以B矩阵，只能先计算出B的逆矩阵，然后AxB(逆)就可以了。

单位矩阵：矩阵世界中没有 1 这个数字，只能用单位矩阵表示 1。矩阵乘以自己的逆就等于单位矩阵，其实就是自己除以自已等于1。