一个集合问题

今天的题目如下：

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问题分析

这题要求将正整数集划分成一族子集，使其满足以下两个条件：
1.无穷个无穷子集。
2.每个子集都能通过将每个元素加上一个常数的方式变为另一个子集。
用数学语言表述如下：
1.，且 ，且互不相交。
2.使得。

问题转化

题目问能不能，看条件这么蛋疼奇葩就知道肯定能。但是看起来难得一b，所以先看看能不能化简一下问题。考虑到：
1.只满足条件1很简单。
2.奇数和偶数只差了1。
下证：
若存在满足条件1的划分，则必存在共同满足条件1和条件2的划分。
证明：
设，是满足条件1的一族子集，则:
必然也是满足条件1的一族子集。且和相互只差了一个常数1，因此也满足条件2。

问题解决

由此，问题转化为了寻找满足条件1的划分。这就简单了，构造方法如下：
是所有奇数构成的集合。
是自然数去掉后剩下数从小到大排列后所有排在奇数位置的数构成的集合。
是自然数去掉后剩下数从小到大排列后所有排在奇数位置的数构成的集合。
以此类推。
因此，存在满足条件1的划分。
综上，存在满足题意的划分。