前缀和与差分（模板题笔记）

一，前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度

利用前缀和可以高效计算某一段区间的和

1,一维前缀和

795. 前缀和 - AcWing

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1 ≤ l ≤ r ≤ n,
1 ≤ n,m ≤ 100000,
−1000 ≤ 数列中元素的值 ≤ 1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

解答

#include
using namespace std;
//#define IOS ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define ll long long 
const int MAX = 100005;
ll n, m, l, r, a[MAX], sum[MAX];
signed main() {
//    IOS;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lld",&a[i]), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];	//构建前缀和数组
    while (m--) {
        scanf("%lld%lld", &l, &r);
        //输出
        printf("%lld\n", sum[r] - sum[l - 1]);
    }
    return 0;
}

模板

//构建
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
//计算某一维区间所有数的和 S
S = sum[r] - sum[l - 1]

2,二维前缀和

796. 子矩阵的和 - AcWing

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1 ≤ n,m ≤ 1000,
1 ≤ q ≤ 200000,
1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ n,
1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ m,
−1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

解答

#include
using namespace std;
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define endl "\n"
#define ll long long 
const int MAX = 2000;
ll n, m, q;
ll x1, y11, x2, y2;
ll a[MAX][MAX], sum[MAX][MAX];
signed main() {
    IOS;
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &q);
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
        for (ll j = 1; j <= m; j++)
            //构建前缀和数组
            scanf("%lld", &a[i][j]), sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    while (q--)
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &x1, &y11, &x2, &y2), 
    //输出
    printf("%lld\n", (sum[x2][y2] - sum[x2][y11 - 1] - sum[x1 - 1][y2] + sum[x1 - 1][y11 - 1])); 
    return 0;
}

模板

//构建
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];	
//计算某二维区间所有数的 S 
S = sum[x2][y2] - sum[x2][y11 - 1] - sum[x1 - 1][y2] + sum[x1 - 1][y11 - 1]

二，差分

差分能大大降低操作某一段区间的时间复杂度

利用差分可以高效对某一段区间操作

1,一维差分

797. 差分 - AcWing

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 l,r 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1 ≤ n,m ≤ 100000,
1 ≤ l ≤ r ≤ n,
−1000 ≤ c ≤ 1000,
−1000 ≤ 整数序列中元素的值 ≤ 1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

解答

#include差分：构造b[i]使得a[i]为b[i]的前缀和，从而通过改变b[i]而快速改变a[i]
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m, l, r, c;
int a[N], b[N];
void insert(int l, int r, int c) {
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}
signed main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &a[i]),insert(i, i, a[i]);	//初始化差分数组

    while (m--) scanf("%d%d%d", &l, &r, &c), insert(l, r, c);			//处理差分数组
    
    //输出
    //for (int i = 1; i <= n; i++)b[i] += b[i - 1],printf("%d ", b[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)a[i] = a[i-1] + b[i], printf("%d ", a[i]);	//处理原数组
    return 0;
}

模板

void insert(int l, int r, int c) {
    b[l] += c;		//增前（此操作会影响b[l]以及其后方所有单位）
    b[r + 1] -= c;	//删后（将后方受到被迫的影响抵消）
}

2,二维差分

798. 差分矩阵 - AcWing

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1 ≤ n,m ≤ 1000,
1 ≤ q ≤ 100000,
1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ n,
1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ m,
−1000 ≤ c ≤ 1000,
−1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

解答

#include 
using namespace std;
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define endl "\n"
#define ll long long 
const ll N = 1010;
ll n, m, q;
ll xa, ya, xb, yb, c;
ll a[N][N], b[N][N];

void insert(ll xa,ll ya,ll xb,ll yb,ll c) {
    b[xa][ya] += c;
    b[xb + 1][ya] -= c;
    b[xa][yb + 1 ] -= c;
    b[xb + 1][yb + 1] += c;
}

signed main() {
    IOS;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)cin >> a[i][j], insert(i, j, i, j, a[i][j]);	//初始化差分数组
    while (q--) {
        cin >> xa >> ya >> xb >> yb >> c;
        insert(xa, ya, xb, yb, c);	//处理差分数组
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //输出
        //for (int j = 1; j <= m; j++)b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1], cout << b[i][j] << " ";
        for (int j = 1; j <= m; j++)a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j], cout << a[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

模板

void insert(ll xa,ll ya,ll xb,ll yb,ll c) {
    b[xa][ya] += c;
    b[xb + 1][ya] -= c;
    b[xa][yb + 1 ] -= c;
    b[xb + 1][yb + 1] += c;
}