python算法模板第一部分(2)(前缀和与差分)

注:本文是在学习了acwing的算法基础课后撰写,主要用于记录python版本算法的模板。其中部分参考了acwing众多大佬的题解。

1.一维前缀和

思想:
原数组 a 1 a 2 . . . a n a_1 a_2...a_n a1a2...an
前缀和 S i = a 1 + a 2 + . . . + a i S_i = a_1 + a_2 + ... + a_i Si=a1+a2+...+ai (下标从1开始方便计算),定义 S 0 = 0 S_0 = 0 S0=0
前缀和的作用:快速求出原数组中一段数的和。
例如,求 [l, r] 区间内数组a的和,不需要遍历a [l, r]部分,只需要 S r − S l − 1 S_r - S_{l-1} SrSl1即可。也就是说计算的时间从O(n)降为了O(1),但计算前缀和数组需要O(n)的时间。因此只求一段数的和实际上没必要使用计算前缀和,但当我们要计算多段时,前缀和就可以节省时间。

步骤:
1.求前缀和 S i = a 1 + a 2 + . . . + a i S_i = a_1 + a_2 + ... + a_i Si=a1+a2+...+ai
2.对前缀和做减法,求部分和 a l + . . . + a r = S r − S l − 1 a_l + ... + a_r = S_r - S_{l-1} al+...+ar=SrSl1

模板:

if __name__ == "__main__":
    n, m = map(int, input().split())
    nums = list(map(int, input().split()))
    prefix = [0] * (n + 10)					# 前缀和数组
    for i in range(n):
        prefix[i+1] = prefix[i] + nums[i]   # 求前缀和
    for i in range(m):
        l, r = map(int, input().split())
        print(prefix[r] - prefix[l-1])      # 求部分和

2.二维前缀和

思想:
已知矩阵,快速求子矩阵和。思想基本与一维一致。
python算法模板第一部分(2)(前缀和与差分)_第1张图片
上图源于acwing796题题解
不记得公式时,可以绘制类似上图的表格推公式。

步骤:
1.求前缀和 S i j = S ( i − 1 ) j − S i ( j − 1 ) − S ( i − 1 ) ( j − 1 ) + a i j S_{ij} = S_{(i-1)j} - S_{i(j-1)} - S_{(i-1)(j-1)} + a_{ij} Sij=S(i1)jSi(j1)S(i1)(j1)+aij
2.求部分和 = S x 2 y 2 − S x 2 ( y 1 − 1 ) − S ( x 1 − 1 ) y 2 + S ( x 1 − 1 ) ( y 1 − 1 ) =S_{x_2y_2} - S_{x_2(y_1-1)} - S_{(x_1-1)y_2} + S_{(x_1-1)(y_1-1)} =Sx2y2Sx2(y11)S(x11)y2+S(x11)(y11)
以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵的和

模板:

if __name__ == "__main__":
    n, m, q = map(int, input().split())
    nums = []
    for _ in range(n):
        nums.append([int(i) for i in input().split()])
    
    # 1.计算前缀和
    s = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            s[i][j] = nums[i-1][j-1] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1]
    
    ans = []
    # 2.计算区域和
    for _ in range(q):
        x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split())
        ans.append(s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1])
    print('\n'.join(map(str, ans)))

3.一阶差分

思想:
差分是前缀和的逆运算。是已知前缀和数组推原数组的过程。
即已知 a 1 a 2 . . . a i a_1a_2...a_i a1a2...ai,构造 b 1 b 2 . . . b i b_1b_2...b_i b1b2...bi,使得 a i = b 1 + b 2 + . . . + b i a_i = b_1 + b_2 + ... + b_i ai=b1+b2+...+bi
差分的作用:若要修改 a l . . . a r a_l...a_r al...ar内的元素+c,只需将 b l b_l bl+c, b r + 1 b_{r+1} br+1-c。将这步操作称为insert,insert函数就是差分的核心。
构建初始差分数组也可以通过insert完成。具体可见代码。

步骤:
1.构建初始差分数组b(遍历数组a,对数组b在i位置插a[i])
2.根据题意修改差分数组
3.利用修改后的差分数组重新计算前缀和

模板:

# 核心
def insert(b, l, r, c):
    b[l] += c
    b[r+1] -= c


if __name__ == "__main__":
    n, m = map(int, input().split())
    a = [0] * (n + 10)  # 原数组
    b = [0] * (n + 10)  # 差分数组
    nums = list(map(int, input().split()))
    for index, val in enumerate(nums):
        a[index+1] = val
        
    # 构建初始差分数组b[]
    for i in range(1, n+1):
        insert(b, i, i, a[i])
    
    # 根据题意修改差分数组
    while m > 0:
        m -= 1
        l, r, c = map(int, input().split())
        insert(b, l, r, c)
        
    # 利用修改后的差分数组重新计算前缀和
    for i in range(1, n+1):
        b[i] += b[i-1]
    for i in range(1, n+1):
        print(b[i], end=" ")

4.二阶差分

思想:
与一维基本一致,重点关注insert部分的不同。
若要对原数组a修改以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的矩阵块。需要对差分数组b做如下步骤:
b[x1][y1] += c
b[x2+1][y1] -= c
b[x1][y2+1] -= c
b[x2+1][y2+1] += c

步骤:
与一维一致。
1.构建初始差分数组b
2.根据题意修改差分数组
3.利用修改后的差分数组重新计算前缀和

模板:

# 核心
def insert(b, x1, y1, x2, y2, c):
    b[x1][y1] += c
    b[x2+1][y1] -= c
    b[x1][y2+1] -= c
    b[x2+1][y2+1] += c
    
    
if __name__ == "__main__":
    m, n, q = map(int, input().split())
    a = [[0 for _ in range(n+10)] for _ in range(m+10)]
    b = [[0 for _ in range(n+10)] for _ in range(m+10)]

    for i in range(1, m+1):
        nums = list(map(int, input().split()))
        for j, val in enumerate(nums):
            a[i][j+1] = val

    # 构建初始差分数组b[][]            
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            insert(b, i, j, i, j, a[i][j])
    
    # 根据题意修改差分数组        
    while q > 0:
        q -= 1
        x1, y1, x2, y2, c = map(int, input().split())
        insert(b, x1, y1, x2, y2, c)
        
    # 利用修改后的差分数组重新计算前缀和
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1] - a[i-1][j-1] + b[i][j]
            
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            print(a[i][j], end=" ")
        print()

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