这节课我们将学习一种非常实用的算法——前缀和,功能和线段树有点类似。
给定一个长度为n的序列,q次询问,每次给定l和r,求a[l]+a[l+1]+…+a[r],即sigema(i = l, r, a[i])。
#include
using namespace std;
int main() {
int n, q;
cin >> n >> q;
int *a = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
}
while (q--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
long long sum = 0;
for (int i = l; i <= r; ++i) {
sum += a[i];
}
cout << sum << '\n';
}
return 0;
}
分析
暴力枚举,时间复杂度O(nq)(有亿点高),空间复杂度O(n)。
new一个sum数组,sum[i] = sigema(j = 1, i, a[j]),即数组前i个数的和。
递推公式:sum[i] = sum[i - 1] + a[i]
边界条件:sum[0] = 0
int *a = new int[n + 1];
int *sum = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
while (q--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << sum[r] - sum[l - 1] << '\n';
}
#include
using namespace std;
int main() {
int n, q;
cin >> n >> q;
int *a = new int[n + 1];
int *sum = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
while (q--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << sum[r] - sum[l - 1] << '\n';
}
return 0;
}
以上我们学习了简单的一维前缀和,那么有没有二位的呢?
for example,著名的最大加权矩形目前 (除了打表) 最好滴解法就是这个啦
给定n,m以及数组a[n][m],q与q次询问,每次询问包含x1, y1, x2, y2四个元素,表示访问矩形的左上角坐标与右下角坐标,求矩形内所有数的和。
直接遍历数组求和。
#include
using namespace std;
const int N = 1e3 + 5;
int a[N][N];
int main() {
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
cin >> a[i][j];
}
}
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
long long sum = 0;
for (int i = x1; i <= x2; ++i) {
for (int j = y1; j <= y1; ++j) {
sum += a[i][j];
}
}
cout << sum << '\n';
}
return 0;
}
分析
时间复杂度:O(n2q)
空间复杂度:O(nm)
经过实测,大部分OJ只有40pts(QAQ)。
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] + a[i][j] - s[i - 1][j - 1]
sigema(i = x1, j = y1, x2, y2, a[i][j]) = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]
#include
using namespace std;
const int N = 1005;
int a[N][N], sum[N][N];
int main() {
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
cin >> a[i][j];
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] + a[i][j] - s[i - 1][j - 1];
}
}
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];
}
return 0;
}
1.最大加权矩形
2.领地选择
3.入阵曲
4.NOIP2006提高组Day2T1(组合数问题)
5.NOIP2015普及组T3(求和)题解
6.NOIP2015普及组T4(推销员)题解