2019-04-26 Seminar (Algebraic Bethe Ansatz I）

这次讲了algebraic Bethe ansatz。准备的时候做了很仔细的推导，我的一个目的是熟悉相关的tensor product 符号计算。熟练掌握符号计算之后，可以反过来理解物理。就好比学会Dirac符号之于量子力学，tensor之于广义相对论。做计算是培养物理直觉的很好的方法，不断地和过去的所学相互验证是熟悉计算一个方法。

algebraic Bethe ansatz 的精神就好比利用升降算符来求解谐振子一样。系统本身被代数结构完全确定。这里有一个物理系统和代数结构的一一对应。就好比可以把求解共性场论当做operator algebra分类的想法一样。
利用类似的想法我们可以这样来理解algebraic bethe ansatz 或是更广义一点的量子可积系统。这里的operator就是Lax operators，他们的代数结构由R matrix
决定。Lax operator is an operator which is over a lie algebra acting on some vector space. 就是把Lax operator看成一个矩阵（operator acting on some vector space），里面的element 取值 在一个李代数上（over a lie algebra）。这样的话，当我们确定了矩阵的维数还有lie algebra，我们就可以尝试确定R matrix 通过求解一个类似Yang-Baxter equation的linear equations。

当然我们要考虑一个（离散的）场论，所以我们要把每一个site 上的Lax operator直积得到Monodromy，因为vector space相当于一种gauge，所以要把他trace掉，最后得到transfer matrix。可以直接由transfer matrix 构造出一组互相対易的算符，如果把其中的一个算符当做Hamiltonian，我们就相当于构造了一个物理系统。

考虑一个最最简单的例子，就是之前提到的vector space只有2维，那么最后得到的Monodromy 就是一个2x2 的矩阵，通过Rmatrix，我们可以求出这个4个element的対易关系，也就构成了一个algebra，然后我们尝试构造他的表示。这里值得注意的一点是，这个algebra的维数并不是4，而是无穷维的，从Monodromy得到的operator 都依赖于一个连续的parameter，所以这里的表示论并不是那么trivial的，一般来说是一个很复杂的问题。

Bethe ansatz可以理解为一个特殊的表示。就是先要选取一个primary，他是Monodromy对角元的本征函数。然后他们的descendent通过作用 Monodromy的一个非对角元作用得到，刚才提过，每个element 都依赖于一个parameter，所以这样我们可以认为这样得到的descendent 依赖于n个变量，n是作用到primary的非对角元的个数。为了保证得到的descendent还是对角元的本征函数，这n个parameter就必须满足一定的限制条件，就是Bethe equation。从这就可以看出，Bethe equation的形式依赖于R matrix的形式，因为R matrix 的形式确定 Monodromy 元素之间的対易关系。