通信原理——确知信号

1、确知信号的频域特性

1.1 功率信号的频谱

• 定义

设一个周期性功率信号s(t)的周期为$T_0$，其频谱为：
$$C_n=C(n{f}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)e^{-j\pi f_{0}t}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中,$f_0=\frac{1}{T_0}$,n为整数，$-\infty <n<\infty$
$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j2\pi nt/T_0}\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$C_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$C_n=|C_n|e^{j{\theta }_n}\text{-双边谱，复频谱}$$

$$C_n\text{-整幅}{\theta }_n\text{-相位}$$

• 性质

• 对于物理可实现的实信号，有

$$C_{-n}=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)e^{j\pi f_{0}t}dt=[\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)e^{-j\pi f_{0}t}dt{]}^{\ast }=C_n^{\ast }\text{\hspace{1em}(4)}$$
正频率部分和负频率部分存在复数共轭关系，即$C_n$的模偶对称，相位奇对称。

将4式代入2式可得：
$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j2\pi nt/T_0}=C_0+\sum _{n=1}^{\infty }[\sqrt{a_n^2+b_n^2}cos(2\pi nt/T_0+\theta )]\text{\hspace{1em}(5)}$$

表明：

1. 实信号可以表示成包含直流分量$C_0$、基波（n=1）和各次谐波。
2. 实信号s(t)的各次谐波的整幅等于$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于$\theta$，称为单边谱
4. 频谱函数$C_n$又称为双边谱，$|C_n|$的值是单边谱的振幅的一半

1.2 能量信号的频谱密度

• 频谱密度的定义：
  • 能量信号s(t)的傅里叶变换： KaTeX parse error: \tag works only in display equations
  • S(f)的逆傅里叶变换为原信号
• S(f)和Cn的主要区别：
  • S(f)是连续谱，$C_n$是离散谱；
  • S(f)的单位是V/Hz，而$C_n$的单位是V。
• 注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。
• 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭

1.3 能量信号的能量谱密度

• 定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df\text{\hspace{1em}(7)}$$
  将$|S(f){|}^2$定义为能量谱密度。
  可以改写为
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }G(f)df\text{\hspace{1em}(8)}$$
  式中$G(f)=|S(f){|}^2$－能量谱密度
• 由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成
  $$E=2{\int }_0^{\infty }G(f)df\text{\hspace{1em}(9)}$$

1.4 功率信号的功率谱密度

• 定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理有
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df\text{\hspace{1em}(10)}$$
  因此，将
  $$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2\text{\hspace{1em}(11)}$$
  定义为功率谱密度P(f)。

信号功率则为：
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }|S_T(f){|}^{2}df={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df\text{\hspace{1em}(12)}$$

若此功率信号具有周期性，且周期为T，则：
$$P=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s}^2(t)dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C_n{|}^2\text{\hspace{1em}(13)}$$
$C_n$为此周期信号的傅里叶级数的系数，$|C_n{|}^2$为第n次谐波的功率。

利用$\delta$函数可将上式表示为：
$$P={\int }_{-\infty }^{\infty }|C(f){|}^2\delta (f-n{f}_0)df\text{\hspace{1em}(14)}$$
式中：$C(f)=\{\begin{array}{cccc}{C}_n& & & f=n{f}_0\\ 0& & & 其他处\end{array}$

上式的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)了，即
$$P(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C(f){|}^2\delta (f-n{f}_0)\text{\hspace{1em}(15)}$$

2、确知信号的时域特性

2.1能量信号的自相关函数

• 定义：
  $$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)s(t+\tau )dt\text{\hspace{1em}(16)}$$
• 性质：
  • 自相关函数$R(\tau )$和时间t 无关，只和时间差$\tau$有关。
  • 当$\tau =0$时，R(0)等于信号的能量：
    $$R(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt=E\text{\hspace{1em}(17)}$$
  • $R(\tau )$是$\tau$ 的偶函数
  • 自相关函数$R(\tau )$和其能量谱密度$|S(f){|}^2$是一对傅里叶变换

2.2功率信号的自相关函数

• 定义：
  $$$$
• 性质：
  • 当$\tau =0$时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：

$$R(0)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)dt=P$$

• 功率信号的自相关函数也是偶函数。
• 周期性功率信号：
• 自相关函数定义：
  $$R(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
• $R(\tau )$和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：

              $R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)e^{j2\pi f\tau }df$                   $P(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

2.3 能量信号的互相关函数

• 定义：
  $$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt\infty <\tau <\infty$$
• 性质：

  • $R_{12}(\tau )$和时间 t 无关，只和时间差$\tau$有关。

  • $R_{12}(\tau )$和两个信号相乘的前后次序有关：

    【证】令$x=t+\tau$，则
    $$\begin{array}{l}{R}_{21}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_2(t)s_1(t+\tau )dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_2(x-\tau )s_1(x)dx\\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(x)s_2[x+(-\tau )]dx=R_{12}(-\tau )\end{array}$$

  • 互相关函数$R_{12}(\tau )$和互能量谱密度$S_{1}2(f)$是一对傅里叶变换

                  $R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_{12}(f)e^{j2\pi f\tau }df$           $S_{12}(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{12}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

2.4功率信号的互相关函数

• 定义：

• 性质：

  • $R_{12}(\tau )$和时间t 无关，只和时间差 有关。
  • $R_{12}(\tau )$和两个信号相乘的前后次序有关：$R_{21}(\tau )-R_{12}(-\tau )$
  • 若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为
    $${\mathrm{R}}_{12}(\tau )=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{s}}_1(t){\mathrm{s}}_2(t+\tau )dt,-\infty <\tau <\infty$$
         式中 T －信号的周期
  • $R_{12}(\tau )$和其互功率谱$C_{12}$之间也有傅里叶变换关系：
    互功率谱定义：$C_{12}=(C_n{)}_1^{\ast }(C_n{)}_2$
    $${\mathrm{R}}_{12}(\tau )={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{C}}_{12}(f)\delta (f-n{f}_0)e^{j2\pi n{f}_0}df$$