Josh 的学习笔记之数字通信（Part 4——带通调制和解调）

1. 为什么需要调制

  数字调制是将数字符号转换成适合信道特性的波形的过程。基带调制中这些波形通常具有整形脉冲的形式，而在带通调制（bandpass modulation）中则利用整形脉冲去调制正弦信号，这个正弦信号被称为载波波形（carrier wave），或简称为载波（carrier）。将载波转换成电磁场（EM）传播到指定的地点就可以实现无线传输。那么，为什么一定要通过载波来实现基带信号的无线传输呢？可以这样解释，电磁场必须利用天线才能在空间传输，天线的尺寸主要取决于波长 $\lambda$ 及应用的场合。对蜂窝电话来说， 天线长度一般为 $\lambda /4$，波长 $\lambda$ 等于 $c/f$，$c$ 是光速 $3\times 10^8\text{ m/s}$ 。假设发送一基带信号（$f=3000\text{ Hz}$），如果不通过载波而直接耦合到天线发送，采用电话工业基准 $\lambda /4$ 作为天线的尺寸，对于 $3000\text{ Hz}$ 的基带信号，其尺寸为 $\lambda /4=2.5\times 10^8\text{ m}\approx 15\text{ 英里}$（1 英里 = 1.609 km）。为了在空间中传输 $3000\text{ Hz}$ 的信号，不用载波进行调制，需要尺寸为 15 英里的天线。但是如果把基带信号先调制在较高的载波频率上，比如说 $900\text{ MHz}$，等效的天线尺寸则为 8 cm。因此，对于各种无线传输系统来说，利用载波进行带通调制是很有必要的。

  此外，带通调制还有其他几方面的优点：

• 如果一条信道要传输多路信号， 则需要利用调制来区分不同的信号。这项技术称为频分复用（frequency-division multiplexing）。
• 可以应用调制将干扰的影响减至最小，这种调制方式称为扩展频谱调制（spread-spectrum modulation），它所需要的系统带宽比传输信息所要求的最小带宽大得多，后面将会讨论为减小干扰而对带宽的权衡问题。
• 可以利用调制将信号置于设计滤波器或放大器时需要的频段上，在接收机中、射频（RF）信号到中频（IF）信号的转换就是一个例子。

---

2. 数字带通调制技术

  通过带通调制（模拟或数字）过程，可以将携带信息的信号转换为正弦波形；对于数字调制，一个周期为 $T$ 的正弦波形代表了一个码元。不同正弦信号之间可以用三个特进行区分：幅度、频率和相位。因此，带通调制可以分别对射频载波的幅度、频率和相位，或三者之间的联合进行调制，传输的载波中三个参量随着信号的变化而变化。载波的一般表达式为
$$s\left(t\right)=A\left(t\right)\cos \theta \left(t\right)$$其中，$A\left(t\right)$ 是随时间变化的幅度，$\theta \left(t\right)$ 是随时间变化的角度，也可以表示成
$$\theta \left(t\right)={\omega }_{0}t+\phi \left(t\right)$$因此，载波可以进一步表示为
$$s\left(t\right)=A\left(t\right)\cos \left[{\omega }_{0}t+\phi \left(t\right)\right]$$其中，${\omega }_0$ 是载波的角频率，$\phi \left(t\right)$ 是相位。$f$ 和 $\omega$ 都可以用来表示频率；如果用 $f$ 表示， 则频率单位为 $\text{Hz}$；如果用 $\omega$ 表示，则频率单位为 $\text{rad/s}$；两者之间的对应关系为 $\omega =2\pi f$。

  图 4.1 列出了基本的带通调制/解调（bandpass modulation/demodulation）类型。

• 如果接收机利用了载波的相位来检测信号，则称为相干检测（coherent detection）；
• 如果没有利用相位参考信息，则称为非相干检测（noncoherent detection）。

在数字通信中， 解调和检测经常可以互用， 尽管解调侧重于波形的恢复，而检测侧重于码元的判决。在理想的相干检测中，每种可能的发射信号的模型对接收端来说都是已知的。用这些已知的模型波形去等效接收信号，使接收信号在各方面（包括相位）都等同于模型波形。然后接收端采用锁相技术跟踪到达的信号。解调时，接收端将接收到的信号与各原型信号相乘，进行相干解调。图 4.1 中，相干调制/解调一项包括相移键控（PSK）、频移键控（FSK）、幅移键控（ASK）、连续相位调制（CPM）和混合调制。本文主要讨论基本的带通调制方式， 一些特殊的调制方式如偏移正交 PSK（OQPSK），最小频移键控（MSK）属于 CPM 的范畴，正交幅度调制（QAM）将在 Part 9 中进行讨论。

图4.1 基本数字通信传输

  非相干解调系统在解调中未使用接收信号的相位值，这样就不需要对相位进行估计。非相干解调的好处是大大降低了系统的复杂性，而付出的代价则是误码率（$P_E$）的增加。图 4.1 中列出了非相干调制/解调的类型，与相干一样，也有 DPSK，FSK，ASK，CPM 和混合调制。既然非相干解调中相位信息是无用的，那么如何理解非相干情况下的相移键控呢？非相干解调中不需要参考接收载波的相位信息，我们把这类重要的 PSK 形式称为非相干（或者差分相干） PSK。这种“伪 PSK”也称为差分 PSK（DPSK），在检测当前的码元时，它只是参考了前一个码元的相位信息。在 5.1 小节和 5.2 小节中将对此进行详细描述。

2.1 正弦信号的相量表示

  利用著名的欧拉三角等式，可以引入复数表示的正弦载波波形，如下所示：
$$e^{j{\omega }_{0}t}=\cos {\omega }_{0}t+j\sin {\omega }_{0}t$$$\cos {\omega }_{0}t$ 或 $\sin {\omega }_{0}t$ 这种表达较为简洁，看起来更为舒适，那么引入复数表达式能带来什么好处呢？第 6 节中将利用复数表示形式更加方便地描述调制和解调的实现过程。用上式描述载波信号带来的好处有：

• 首先，任何载波波形其指数形式 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 都包含两个重要的正交分量，分别为同相（实部）分量和正交（虚部）分量，分量之间相互正交。
• 其次，如图 4.2 所示，未调制载波信号在极坐标系统中可以很方便地表示成单位相量（phasor）或矢量以恒定的角速度 ${\omega }_0$ 弧度/秒逆时针旋转。随着时间的增加（从 $t_0$ 至 $t_1$），可以想像出旋转的矢量在同相坐标轴（$I$）和正交坐标轴（$Q$）上投影的变化情况。笛卡儿坐标系上分别定义了 $I$ 通道和 $Q$ 通道，两个通道上的投影分别代表了与之有关的信号分量（ 相互之间正交）。
• 再次，在对载波进行调制时，可以把调制看成对旋转相量（及投影）的轻微有序的扰动。
  图4.2 正弦信号的相量表示

  例如，考虑调幅信号（AM），用幅度为单位长度，频率为 ${\omega }_m$ 的正弦信号去调制载波，其中，${\omega }_m\ll {\omega }_0$。发送信号的解析式为
$$s\left(t\right)=\Re \left\{e^{j{\omega }_{0}t}\left(1+\frac{e^{j{\omega }_{m}t}}{2}+\frac{e^{-j{\omega }_{m}t}}{2}\right)\right\}$$其中，$\Re \left\{\cdot \right\}$ 是取实部运算。图 4.3 说明了图 4.2 所示的旋转相量 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 受两个边带分量的扰动——$e^{j{\omega }_{m}t}/2$ 逆时针旋转，$e^{-j{\omega }_{m}t}/2$ 顺时针旋转。边带相量的旋转速度显然要慢于载波相量的旋转速度。这样合成信号产生的效果就使得载波相量幅度随着边带分量的变化一会变长一会又变短，但是其频率保待恒定——这就是“调幅”过程。

图4.3 振幅调制

  再举个例子，用调频（FM）来说明相量图的实用性。同样，用频率为 ${\omega }_m$ 的单位正弦信号来调制载波。窄带调频（NFM）解析式同 AM 有相似的形式，可表示成
$$s\left(t\right)=\Re \left\{e^{j{\omega }_{0}t}\left(1-\frac{\beta }{2}{e}^{-j{\omega }_{m}t}+\frac{\beta }{2}{e}^{j{\omega }_{m}t}\right)\right\}$$其中，$\beta$ 为调频指数。图 4.4 说明了旋转载波相量如何受两个边带分量的扰动，但因为上式中一个边带分量是负值，所以顺时针和逆时针边带相量具有与 AM 不同的对称性。在 AM 情况下，边带对称性使得载波相量随时间变长或变短。而在 NFM 中，边带对称性（与 AM 相差 $90°$）使得载波相量随边带信号的变化加速旋转或减速旋转，但其幅度是不变的一一这就是“调频”过程。

图4.4 窄带调频

  图 4.5 表示了最普通的数字调制方式：PSK，FSK，ASK 以及 ASK 和 PSK（ASK/PSK 或 APK）的混合调制。第一列列出了解析表达式，第二列画出了关于时间的波形函数，第三列是矢量（或相量）示意图，坐标轴为正交函数 $\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}$。一般对于 $M$ 进制信号，处理器同时收到 $k$ 比特信息（或信道比特，如果已经进行编码的话），然后指示调制器产生已知的 $M=2^k$ 个波形中的一个。当 $k=1$，即为二进制调制，是 $M$ 进制调制的一个特例。

图4.5 数字调制

  图 4.2 中把载波解释成以恒定速度即载波频率 ${\omega }_0\text{ rad/s}$ 旋转的相量。图 4.5 把每种数字调制方式的相量示意图表示成信号的星座图（信号空间的矢量或点），其中时间未标出。换句话说，未调制载波恒速旋转的特性已经改变，并且仅表现为信号之间相量位置关系。图 4.5 中的每个例子均设定了特定的 $M$，即信号集的大小。

2.2 相移键控

  相移键控（PSK）是在太空计划的早期发展起来的， 现在广泛应用于军事和商用通信系统中。PSK 的一般表达式为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left[{\omega }_{0}t+{\phi }_i\left(t\right)\right]\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$其中，${\phi }_i\left(t\right)$ 有 $M$ 个离散值，可以表示为
$${\phi }_i\left(t\right)=\frac{2\pi i}{M}i=1,\cdots ,M$$图 4.5a 所示为二进制 PSK（BPSK），即 $M$ 等于 $2$。$E$ 是码元能量，$T$ 是码元持续时间，$0⩽t⩽T$。在 BPSK 调制中，已调数据信号波形 $s_i\left(t\right)$ 的相位有两种状态，$0$ 或者 $\pi$（$180°$）。图 4.5a 就是典型的 BPSK 波形图，在码元的变化处有一个相位的突变。如果调制的数据流不断在 1 和 0 之间变化， 则每个变化点都会有这样的突变。信号波形可以看做极坐标图中的矢量或相量，矢量的长度对应于信号幅度，矢量方向则与其他 $M-1$ 个信号相位有关。在 BPSK 例子中，矢量图表示相差 $180°$ 的两个反相矢量，描述这种相反矢量的信号集称为对极信号集（antipodal signal set）。

2.3 频移键控

  FSK 调制一般表示式为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left({\omega }_{i}t+\phi \right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$其中，频率项 ${\omega }_i$ 有 $M$ 个离散值，相位项 $\phi$ 是任意常量。图 4.5b 所示的 FSK 波形在码元跳变处频率发生明显的改变，图中描述了在码元变化处一个频率到另一个频率的平稳变化。这是一类特殊的 FSK，称为连续相位 FSK（CPFSK）。对一般的 MFSK，由于相位的不连续，切换到另一个频率的变化显得很突然。在如图所示的例子中，$M$ 选为 3，相应的波形的类型数也为 $3$。注意，此处 $M=3$ 是为了强调坐标轴之间的相互垂直关系。实际上，$M$ 通常选为 2 的非零整数次幂（2、4、8、16、…）。 信号集可以由笛卡儿坐标刻画，每个互相垂直的坐标轴都代表了一个不同频率的正弦信号。前面已经提过，由这种相互垂直的矢量来刻画的信号集称为正交信号。并不是所有的 FSK 信号都是正交的，任何正交的信号集都必须满足 《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.3 小节提出的正交信号的准则。对 FSK 信号集，要使其满足该准则，则两个不同频率信号之间在坐标轴上的间距必须满足 5.4 小节中提到的正交性条件。

2.4 幅移键控

  图 4.5c 所示的 ASK 信号，通用表达式为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_i\left(t\right)}{T}}\cos \left({\omega }_{0}t+\phi \right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$其中，振幅项 $\sqrt{\frac{2E_i\left(t\right)}{T}}$ 有 $M$ 个离散值，相位项 $\phi$ 是任意常量。在图 4.5c 中， $M$ 为 2，相应的波形数也为 2。ASK 波形的一个典型例子是雷达发射，其幅度状态有两个：$\sqrt{\frac{2E_i\left(t\right)}{T}}$ 和 0。由图 4.5c 可以看到其中一个矢量对应着最大幅度状态，原点则对应着 0 幅度状态。二进制 ASK 信号（也称为通断键控）是 20 世纪初最早运用于无线电报中的数字调制方式之一。如今数字通信中不再应用这种简单的 ASK，因此这里就不再赘述。

2.5 振幅相位联合键控

  图 4.5d 所示为 ASK 和 PSK 联合调制波形，一般表达式为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_i\left(t\right)}{T}}\cos \left[{\omega }_{0}t+{\phi }_i\left(t\right)\right]\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$对信号幅度和相位均做了描述。图 4.5d 的 APK 波形给出了码元变化时刻同步的相位和幅度变化。本例中，$M$ 选为 8，相应的波形数也为 8。图中画出了相位幅度平面上假设的包含 8 个矢量的信号集。这 8 个信号中有 4 个幅度相同，每个矢量之间的夹角为 45°。将二进制信号空间中的包含 $M$ 个码元的信号集分布在矩形星座图上，这些信号称为正交幅度调制（QAM），Part 9 将对此进行详细讨论。

  图 4.5 中每种调制方式（FSK 除外）的矢量图均可在极坐标上刻画其信号幅度和相位。对正交 FSK（见 5.4 小节），可以在笛卡儿坐标空间中描述，每个坐标轴代表 $M$ 个正交频率信号集中的一个，即 $\cos {\omega }_{i}t$。

2.6 波形振幅系数

  由上述 PSK、FSK 和 ASK 信号的通用表达式可以看出，对所有调制方式的信号幅度系数具有相同的表达式 $\sqrt{\frac{2E}{T}}$。推导如下。首先，
$$s\left(t\right)=A\cos \omega t$$这里 $A$ 为波峰值，由于正弦信号的波峰值为有效值的 $\sqrt{2}$ 倍，于是，
$$s\left(t\right)=\sqrt{2}{A}_{\text{rms}}\cos \omega t=\sqrt{2A_{\text{rms}}^2}\cos \omega t$$假定信号为电压或电流波形，$A_{\text{rms}}^2$ 表示平均功率 $P$（单位电阻，$1\Omega$）。因此，
$$s\left(t\right)=\sqrt{2P}\cos \omega t$$由能量和平均功率的关系 $P=\frac{E}{T}$，代入上式得到
$$s\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \omega t$$  这样既可以用上述的 $A$ 也可用 $\sqrt{\frac{2E}{T}}$ 来表示信号幅度。由于接收信号的能量是决定判决过程误码率性能的一个很重要参数，因此用 $\sqrt{\frac{2E}{T}}$ 来表示信号幅度更为适合，这样便于直接用信号能量来求解差错概率 $P_E$。

---

3. 高斯噪声背景下的信号检测

  带通模式下的检测过程本质上完全等同于《Part 3——基带信号解调与检测》中讨论的基带情况，因为在检测过程之前，接收到的带通波形必须转换为基带波形。对于线性系统，频率的搬移并不影响检测结果。实际上，有如下的等效性原理（equivalence theorem）：先执行带通信号的线性过程，然后将信号外差到基带信号上，其结果等效于先将带通信号外差到基带上，然后进行基带信号的线性过程。“外差”（heterodyning）是指将频率转化或混合以使得信号频谱搬移的过程。根据等效性原理，所有对带通信号的模拟均可在基带信号上进行（为简便起见），两者处理的结果是相同的。这就意味着在大多数数字通信系统中，对其性能的描述和分析都可在基带信道上进行。

3.1 判决区域

  考虑图 4.6 中的二进制信号空间，${\mathbf{s}}_1+\mathbf{n}$ 和 ${\mathbf{s}}_2+\mathbf{n}$ 分别是受噪声干扰的二元信号矢量，其中，噪声矢量 $\mathbf{n}$ 是零均值的随机矢量。因此，接收的信号矢量是均值为 ${\mathbf{s}}_1$ 或 ${\mathbf{s}}_2$ 的随机矢量。检测的主要目的就是接收到 $\mathbf{r}$ 之后， 判断发送信号是 ${\mathbf{s}}_1$ 还是 ${\mathbf{s}}_2$。通常使用的方法是对信号进行分类以获得最小期望的 $P_E$，当然也可以使用其他的策略。在 $M$ 为 2 的情况下，${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 可以认为是等概出现的， 而噪声可看做加性高斯白噪声（AWGN）过程。这样，最小差错判决准则等价于选择信号分类，使得距离 $d\left(\mathbf{r},{\mathbf{s}}_i\right)=\Vert \mathbf{r}-{\mathbf{s}}_i\Vert$ 最小。$\Vert \mathbf{x}\Vert$ 称为矢量 $\mathbf{x}$ 的范数（norm）或长度（magnitude），该规则常用来确定判决区域。图 4.6 中用下面的方法构建判决区域：

• 首先，连接信号矢量 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 的端点，
• 然后，做连线的垂直平分线。

注意，如果 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 的幅度相同，则垂直平分线通过信号空间的原点。对于图 4.6 中 $M=2$ 的情况，做出的垂直平分线正是与 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 等距的点的轨迹因此，该平分线是判决区域 1 和判决区域 2 的边界。这样，根据判决区域（decision region）可以描述出判决器的判决准则（decision rule）：

• 当接收到的信号矢量位于区域 1 时，发送信号判决为 ${\mathbf{s}}_1$；
• 当接收到的信号矢量位于区域 2 时，发送信号判决为 ${\mathbf{s}}_2$。

对于图 4.6，若 $\theta$ 等于 $180°$，则信号集 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 表示 BPSK 。该图中，为了强调一般意义上的判决区域思想，$\theta$ 刻意选为小于 $180°$。

图4.6 任意等幅矢量s₁和s₂的二进制信号空间

3.2 相关接收机

  第 2 节讨论了高斯噪声下基带（baseband）二进制信号的检测问题。由于带通（bandpass）信号的检测采用了同样的原理， 因此只需概括几个关键的结论。下面重点讨论匹配滤波器（也称为相关器） 的实现。除了二进制检测，还必须进一步考虑更一般的 $M$ 进制信号的检测。假定影响检测性能的只有 AWGN，则接收信号是发送信号与随机噪声之和：
$$r\left(t\right)=s_i\left(t\right)+n\left(t\right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$给定这样的接收信号，判决过程包括两个基本步骤，如图 3.1 所示。

• 第一步， 将接收信号波形 $r\left(t\right)$ 简化为单个的随机变量 $z\left(T\right)$，或者随机变量集合 $z_i\left(T\right)\left(i=1,\cdots ,M\right)$，$T$ 为码元周期，对解调器的输出在 $t=T$ 时刻进行采样就可以得到这样的输出。
• 第二步，将 $z\left(T\right)$ 与门限值比较，或者选取最大的 $z_i\left(T\right)$ 来对码元进行判决。

第一步实际上是把传输的信号波形转换成判决空间上的一点，该点称为预检测点（predetection point），是接收器中很重要的参考点。当讲到接收信号功率，或接收干扰噪声，或 $E_b/N_0$ 时，通常要考虑此预检测点。有时这样的接收参数对接收器输入端（receiver input）或接收天线（receiving antenna）的描述不是很严谨，但是在用这种方式进行描述时，一个基本的假设是在输入端和预检测点之间没有 SNR 或 $E_b/N_0$ 的损失。在每个码元时刻，预检测点得到的信号是基带脉冲的采样。此时我们还没有得到比特位，但是却定义了每比特能量与 $N_0$ 的比值，这是不是很矛盾呢？实际上不是的，作为很方便的参考点，这里的基带脉冲（在比特判决之前）可以有效地代表比特位。第二步可以认为是判断信号点位于哪个判决区域。为了优化判决器（即最小化错误概率），很有必要优化随机变量波形的变换，我们既可以使用第一步的匹配滤波器或相关器，也可以优化第二步的判决准则。

  在《Part 3——基带信号解调与检测》的 2.2 小节 和 2.3 小节中提到，$t=T$ 时刻匹配滤波器的输出具有最大信噪比，相关器也可以认为是匹配滤波器的实现。图 4.7a 所示为包含 $M$ 个相关器的相关接收器，它把接收波形 $r\left(t\right)$ 转换为 $M$ 个相关器输出序列 $z_i\left(T\right)\left(i=1,\cdots ,M\right)$。每个相关器输出均由与接收信号的乘积积分或相关运算得到
$$z_i\left(T\right)={\int }_0^{T}r\left(t\right)s_i\left(t\right)\text{d}ti=1,\cdots ,M$$  相关即匹配，相关器就是使到来的接收信号 $r\left(t\right)$ 与每个待选的发送波形 $s_i\left(t\right)$（接收器的先验信号波形）匹配。一个合理的判决准则就是选取波形 $s_i\left(t\right)$ 使之与 $r\left(t\right)$ 最佳匹配或有最大的相关性。换言之，判决规则是
$$选择s_i\left(t\right)，使其对应于最大的z_i\left(T\right)$$

图4.7 参考信号不同的相关接收器

  由《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.3 小节可知，
$$任何信号集\left\{s_i\left(t\right)\right\}\left(i=1,\cdots ,M\right)都可以表示成一些基本函数集\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}\left(j=1,\cdots ,N\right)N⩽M$$由此，图 4.7a 所示的一组 $M$ 级参考信号集为 $\left\{s_i\left(t\right)\right\}\left(i=1,\cdots ,M\right)$ 的相关器可由 $N$ 级参考信号集为 $\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}\left(j=1,\cdots ,N\right)$ 的相关器替代，如图 4.7b 所示。此接收器的判决级由选择信号 $s_i\left(t\right)$ 的逻辑电路组成。$s_i\left(t\right)$ 的选取，是根据系数 $a_{ij}$ 与输出信号集 $z_i\left(T\right)$ 之间的最佳匹配。

• 若波形集 $\left\{s_i\left(t\right)\right\}$ 是正交的，则图 4.7a 中接收器的实现完全等同于图 4.7b 中的实现（ 差别可能仅仅在于比例因子）。
• 若 $\left\{s_i\left(t\right)\right\}$不是正交信号集，则图 4.7b 采用同参考信号 $\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}$ 有关的 $N$ 个相关器替代 $M$ 个相关器，是最有效的实现方式，在 4.3 小节中将把它运用在多相相移键控（MPSK）信号的检测上。

  在二进制信号检测中，相关接收器可以设计成单独的匹配滤波器或乘法积分器，如图 4.8a 所示，参考信号为二进制发送信号之差 $s_1\left(t\right)-s_2\left(t\right)$，相关器的输出 $z\left(T\right)$ 直接输入到判决级。

图4.8 二元相关接收机

  对于二进制检测，相关接收器也可以设计成两个匹配滤波器或者乘法积分器的形式，一个用于匹配 $s_1\left(t\right)$，另一个用于匹配 $s_2\left(t\right)$，如图 4.8b。判决级的设计须遵守判决准则，将相关器的输出 $z_i\left(T\right)\left(i=1,2\right)$ 进行差运算：
$$z\left(T\right)=z_1\left(T\right)-z_2\left(T\right)$$如图 4.8b所示。$z\left(T\right)$ 称为检验统计量（test statistic），同前面单个相关器实现时的情况一样，将它输入到判决级。

• 在没有噪声的情况下（absence of noise），输入波形 $s_i\left(t\right)$ 产生输出 $z\left(T\right)=a_i\left(T\right)$，它仅包含信号分量。

• 在有噪声的情况下，输入噪声 $n\left(T\right)$ 是高斯随机过程，由于相关器是线性器件，因此，输出仍然为高斯随机过程。这样，在 $t=T$ 时刻对相关器输出进行采样得到
  $$z\left(T\right)=a_i\left(T\right)+n_0\left(t\right)i=1,2$$其中，$n_0\left(t\right)$ 是噪声分量，是零均值高斯随机变量；$z\left(T\right)$ 是均值为 $a_1$ 或 $a_2$ 的高斯随机变量，取决于发送信号是二进制 0 还是二进制 1。

3.2.1 二进制判决门限

  图 4.9 画出了随机变量 $z\left(T\right)$ 的两个条件概率密度（pdf）函数 $p\left(z\mid s_1\right)$ 和 $p\left(z\mid s_2\right)$，其均值分别为 $a_1$ 和 $a_2$。这两个 pdf 分别称为 $s_1$ 和 $s_2$ 的似然函数，这在《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.2 小节中介绍过，下面重新写出其表达式：
$$p\left(z\mid s_1\right)=\frac{1}{{\sigma }_0\sqrt{2\pi }}\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{z-a_1}{{\sigma }_0}\right)}^2\right]$$和
$$p\left(z\mid s_2\right)=\frac{1}{{\sigma }_0\sqrt{2\pi }}\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{z-a_2}{{\sigma }_0}\right)}^2\right]$$其中，${\sigma }_0^2$ 是噪声变量。图 4.9 中，

• 最右面的似然函数 $p\left(z\mid s_1\right)$ 表示已知发送信号为 $s_1\left(t\right)$ 时，检测输出 $z\left(T\right)$ 的概率密度函数；
• 最左面的似然函数 $p\left(z\mid s_2\right)$ 表示已知发送信号为 $s_2\left(t\right)$ 时，检测输出 $z\left(T\right)$ 的概率密度函数。

$z\left(T\right)$ 的横坐标表示图 4.8 中的相关接收器输出样值的所有可能的取值范围。

图4.9 条件概率密度函数：p(zls₁), p(z|s₂)

  关于最优化二进制判决门限值，用于确定接收信号的区域的问题，在 《Part 3——基带信号解调与检测》的 2.1 小节中提到了用于高斯噪声条件下，等概二进制信号的最小错误（minimum error）准则。表达式如下：
$$z\left(T\right)\underset{H_2}{\stackrel{H_1}{\gtrless }}\frac{a_1+a_2}{2}={\gamma }_0$$

• 当发送信号为 $s_1\left(t\right)$ 时，$a_1$ 为 $z\left(T\right)$ 的信号分量；
• 当发送信号为 $s_2\left(t\right)$ 时，$a_2$ 为 $z\left(T\right)$ 的信号分量。

门限值 ${\gamma }_0$ 取 $\frac{a_1+a_2}{2}$ , 可以使得等概信号的错误判决概率最小。根据如上式的判决准则，

• 如果 $z\left(T\right)>{\gamma }_0$，则应当选择假定值 $H_1$ ( 等效于判决发送信号为 $s_1\left(t\right)$）；
• 如果 $z\left(T\right)<{\gamma }_0$，则应当选择假定值 $H_2$（等效于判决发送信号为$s_2\left(t\right)$）；
• 如果 $z\left(T\right)={\gamma }_0$，则判决可以选择其中的任意一个。

对于等能量、等概且极性相反的信号，有 $s_1\left(t\right)=-s_2\left(t\right)$ 及 $a_1=-a_2$，则最优化判决准则变为
$$z\left(T\right)\underset{H_2}{\stackrel{H_1}{\gtrless }}0$$或
$$\begin{array}{rlrl}& 判决为s_1\left(t\right),& & z_1\left(T\right)>z_2\left(T\right)\\ & 判决为s_2\left(t\right),& & \text{otherwise}\end{array}$$

---

4. 相干检测

4.1 PSK 的相干检测

  图 4.7 所示的检测器可以用于任何数字波形的相干检测，这种检测器通常称为最大似然检测器（maximum likelihood detector）。考虑二进制 PSK（BPSK）的例子，设
$$s_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left({\omega }_{0}t+\phi \right)0⩽t⩽T$$$$s_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left({\omega }_{0}t+\phi +\pi \right)=-\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left({\omega }_{0}t+\phi \right)0⩽t⩽T$$且
$$n\left(t\right)=零均值高斯白随机过程$$其中，相位 $\phi$ 为任意常量，因此设定 $\phi =0$ 不会影响分析结果。参数 $E$ 是单位码元的能量，$T$ 是码元周期。对于极性相反的特例，只需要一个基函数。如果假定满足《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.3 小节提出的正交信号空间（即 $K_j=1$），其基函数 ${\psi }_1\left(t\right)$ 可表示为
$${\psi }_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{0}t0⩽t⩽T$$因此，可以根据 ${\psi }_1\left(t\right)$ 和系数 $a_{i1}\left(t\right)$ 来表示发送信号 $s_i\left(t\right)$：
$$\begin{array}{rl}& s_i\left(t\right)=a_{i1}{\psi }_1\left(t\right)\\ & s_1\left(t\right)=a_{11}{\psi }_1\left(t\right)=\sqrt{E}{\psi }_1\left(t\right)\\ & s_2\left(t\right)=a_{21}\psi \left(t\right)=-\sqrt{E}{\psi }_1\left(t\right)\end{array}$$假定发送信号为 $s_1\left(t\right)$。则在参考信号 ${\psi }_1\left(t\right)$ 下，图 4.7b 中的乘法积分器的输出期望值为
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{E}\left\{z_1\mid s_1\right\}=\mathbf{E}\left\{{\int }_0^T\left[\sqrt{E}{\psi }_1^2\left(t\right)+n\left(t\right){\psi }_1\left(t\right)\right]\text{d}t\right\}\\ & \mathbf{E}\left\{z_z\mid s_1\right\}=\mathbf{E}\left\{{\int }_0^T\left[-\sqrt{E}{\psi }_1^2\left(t\right)+n\left(t\right){\psi }_1\left(t\right)\right]\text{d}t\right\}\\ & \mathbf{E}\left\{z_1\mid s_1\right\}=\mathbf{E}\left\{{\int }_0^T\left[\frac{2}{T}\sqrt{E}{\cos }^2{\omega }_{0}t+n\left(t\right)\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{0}t\right]\text{d}t\right\}=\sqrt{E}\\ & \mathbf{E}\left\{z_2\mid s_1\right\}=\mathbf{E}\left\{{\int }_0^T\left[-\frac{2}{T}\sqrt{E}{\cos }^2{\omega }_{0}t+n\left(t\right)\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{0}t\right]\text{d}t\right\}=-\sqrt{E}\end{array}$$其中，$\mathbf{E}\left\{\cdot \right\}$ 表示集总平均，也称为期望值（expected value）。上述后两式成立是因为 $\mathbf{E}\left\{n\left(t\right)\right\}=0$。判决级通过确定接收信号所在的信号空间来判决发送信号。该例中，选择 ${\psi }_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T}}$ 将 $\mathbf{E}\left\{z_i\left(T\right)\right\}$ 归一化为 $\pm \sqrt{E}$ 。除了归一化比例因子外，原型信号 $s_i\left(t\right)$ 与参考信号 $\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}$ 是相同的。判决级选择具有最大 $z_i\left(T\right)$ 值的信号。因此，在此例中接收信号判决为 $s_1\left(t\right)$。对 BPSK 系统进行这种相干检测的差错性能，将在 7.1 小节进行讨论。

4.2 采样匹配滤波器

  在《Part 3——基带信号解调与检测》的 2.2 小节中讨论了匹配滤波器的基本特征，即其冲激响应是输入信号波形镜像（绕 $t=0$ 轴翻转）的延迟。因此，如果信号波形为 $s\left(t\right)$，则其镜像为 $s\left(-t\right)$，延迟 $T$ 秒后是 $s\left(T-t\right)$。与 $s\left(t\right)$ 匹配的滤波器冲激响应 $h\left(t\right)$ 为
$$h\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& s\left(T-t\right),& & 0⩽t⩽T\\ & 0,& & \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$  图 4.7 和 4.8 表明自相关器的基本功能，是将接收到的含噪声信号和每个待选参考信号做乘法积分运算以确定最好的匹配。这几幅简图暗示使用的是模拟硬件（乘法器和积分器）以及连续信号，而并没有表明相关器或匹配滤波器（MF）可以通过数字技术和采样波形来实现。图 4.10 展示了如何用数字硬件来实现 MF。输入信号 $r\left(t\right)$ 等于发送信号 $s_i\left(t\right)$ 与噪声 $n\left(t\right)$ 之和，信号带宽为 $W=\frac{1}{2T}$，这里 $T$ 是码元持续时间。这样，最小奈奎斯特采样速率为 $f_s=2W=\frac{1}{T}$，且采样间隔 $T_s$ 必须等于或小于码元间隔。换言之，每个码元必须有一个采样点。在实际系统中，这种采样通常以超过奈奎斯特最小速率的 4 倍或更多倍速率进行。唯一的代价是处理器的速度，而不是传输带宽。在采样时刻 $t=k{T}_s$，采样点转移到寄存器中（如图 4.10a），前面的采样点则依次右移一位。当接收信号进行采样时，连续时间 $t$ 转变成 $k{T}_s$，或简化成 $k$，可以用离散时间符号表示：
$$r\left(k\right)=s_i\left(k\right)+n\left(k\right)i=1,2k=0,1,\cdots$$其中，$i$ 是 $M$ 进制信号中区别不同码元的下标，$k$ 是采样时刻序号。在图 4.10 中，具有系数或加权 $c_i\left(n\right)$ 的移位寄存器近似为一个 MF，其中 $n=0,\cdots ,N-1$ 是加权时刻的序号或寄存器的级数。此例中，$N=4$ 表示寄存器为 4 级和每个码元采样 4 次。因此，图中在时刻 $n=0$ 到 $n=3$ 对采样值求和，求和之后，即 4 个采样点均进入寄存器之后就可以对码元进行判决。注意，为简便起见，图 4.10b 所用的例子对 $s_i\left(k\right)$ 采样只有 3 个幅度值（$0,\pm 1$）。实际系统中，每个采样（权值）会有 6~10 比特，其位数取决于信号星座的密度。滤波器权值集合 $\left\{c_i\left(n\right)\right\}$ 构成了滤波器冲激响应， 与信号采样点匹配的权值对应关系为
$$c_i\left(n\right)=s_i\left[\left(N-1\right)-n\right]=s_i\left(3-n\right)$$由离散形式卷积积分，某个时刻对应于第 $k$ 个采样点的输出表示式为
$$z_i\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}r\left(k-n\right)c_i\left(n\right)k=0,1,\cdots ,模N$$其中，$x模y$ 定义为 $x$ 除以 $y$ 的余数，$k$ 表示接收信号采样时刻和滤波器输出时刻，$n$ 是伪时间变量。

• 在 $r\left(k-n\right)$中，可以将 $n$ 看做采样的“年龄”（停留在滤波器中的时间长度）；
• 在 $c_i\left(n\right)$ 中，可将 $n$ 看做权值的地址。

由于假定系统是同步的，因而码元的定时是已知的。同样，假定噪声是零均值的，这样接收信号的采样期望值为
$$\mathbf{E}\left\{r\left(k\right)\right\}=s_i\left(k\right)i=1,2$$因此如果发送信号为 $s_i\left(t\right)$，则匹配滤波器的期望输出为
$$\mathbf{E}\left\{z_i\left(k\right)\right\}=\sum _{n=0}^{N-1}{s}_i\left(k-n\right)c_i\left(n\right)k=0,1,\cdots ,模N$$图 4.10b 为发送信号随时间变化的函数，可以看到 $s_1\left(t\right)$ 最左边的样值（幅度为 $+1$）是 $k=0$ 时刻即最早的采样值。假定发送信号为 $s_1\left(t\right)$，为简化表示，忽略噪声，这意味着接收信号采样 $r\left(k\right)$ 就等于 $s_1\left(t\right)$。当采样点填满了 MF 的寄存器，在每个码元结束时刻，$k=0$ 的采样值将置于寄存器的最右端。从上述 $z_i\left(k\right)$ 和 $\mathbf{E}\left\{z_i\left(k\right)\right\}$ 的表达式注意到，参考权值时间下标 $n$ 与采样时间下标 $k-n$ 相比，顺序发生了逆转，这正是卷积积分器的一个重要特点。事实上，最早时刻的采样对应于最右端的权值保证了相关有意义。即使我们将 MF 的数学运算描述成信号同滤波器冲激响应的卷积， 最终结果也是表现为同样两个信号的相关。这就是可以有效地将相关器描述成匹配滤波器实现的原因。

图4.10 用数字硬件实现MF

  图 4.10b 中，检测器通常采用 MF。对于二进制判决，在对应于码元结束时刻 $k=N-1$ 处验证 $z_i\left(k\right)$。在发送信号为 $s_1\left(k\right)$ 且忽略噪声的情况下，通过上述结论，可将时刻 $k=N-1=3$ 的相关输出表示为
$$z_1\left(k=3\right)=\sum _{n=0}^3{s}_1\left(3-n\right)c_1\left(n\right)=2$$及
$$z_2\left(k=3\right)=\sum _{n=0}^3{s}_1\left(3-n\right)c_2\left(n\right)=-2$$由于 $z_1\left(k=3\right)$ 大于 $z_2\left(k=3\right)$，检测器选择 $s_1\left(t\right)$ 作为发送码元。

  那么，图 4.10b 的 MF 和图 4.8 的相关器到底有什么区别呢？对于 MF，每个新到达的输入采样值均可得到一个新的输出值，因此其输出为一时间序列，这可以从图 3.7b 所示的 MF 输出看出（一连串输入与正弦波形相关的正值与负值）。这样的 MF 输出序列等同于在输入时间序列不同的开始时刻几个相关器的运算值。注意，一个相关器在每个码元时刻只能计算一个输出值，即为图 3.7b 所示的时刻 $T$ 时的信号峰值。如果 MF 和相关器的定时准确，则它们在码元结束时刻的输出是完全等同的。MF 和相关器有—个重要的差别，即由于相关器在每个码元期间都会得到单独的输出值，所以肯定会有边信息（side information），例如乘积积分基于码元的开始和结束时刻。假如相关器定时错误，则输入到检测器的输出样值会发生严重错误。另一方面，MF 得到一时间序列的输出值（反映在随时间变化的输入样值与固定权值的乘积上），通过辅助电路，可以获得对 MF 输出进行采样的最佳时刻。

4.3 多相相移键控的相干检测

  图 4.11 画出了多相相移键控（MPSK）信号集的信号空间，该图描述的是 4 相 PSK 或者称为 QPSK（$M=4$）。在发送端， 每个码元间隔内同时发送两个二进制位，这两个连续的二进制位指明调制器须产生 4 个波形中的一个。对于典型的相干 $M$ 进制 PSK（MPSK）系统，$s_i\left(t\right)$ 可以表示为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_i}{T}}\cos \left[{\omega }_{0}t-\frac{2\pi i}{M}\right]\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$其中，$E$ 为每个码元间隔 $T$ 内接收到信号波形的能量，${\omega }_0$ 是载波角频率。如果信号空间满足 《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.3 小节提出的正交条件， 则可以选取更为方便的坐标集，如
$${\psi }_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{0}t$$及
$${\psi }_2\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T}}\sin {\omega }_{0}t$$同 4.1 小节一样，为了归一化检测器的期望输出，式中幅度取为 $\sqrt{\frac{2}{T}}$。这样根据标准正交坐标系，$s_i\left(t\right)$可以写成
$$\begin{array}{rl}{s}_i\left(t\right)& =a_{i1}{\psi }_1\left(t\right)+a_{i2}{\psi }_2\left(t\right)\\ & =\sqrt{E}\cos \left(\frac{2\pi i}{M}\right){\psi }_1\left(t\right)+\sqrt{E}\sin \left(\frac{2\pi i}{M}\right){\psi }_2\left(t\right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}\end{array}$$

图4.11 QPSK系统的信号空间及判决区域

  需要说明的是，上述表达式表示的 $M$ 进制相位波形集（本质上是非正交的）仅仅只有两个正交的载波分量。从某种意义上说，MPSK 信号集中， $M=4$ 的例子非常特殊，因为 QPSK 的波形集可由极性相反的正交函数组合来表示。判决边界把信号空间分成 $M=4$ 个区域，其构建过程与 3.1 小节中图 4.6 的 $M=2$ 情况相似。检测器的判决规则为（见图 4.11）：

• 如果接收信号矢量落在区域 1 内，则判定发送信号为 $s_1\left(t\right)$；
• 如果接收信号矢量落在区域 2 内，则判定发送信号为 $s_2\left(t\right)$；
• ……

换言之，该判决规则就是如果 $z_i\left(T\right)$ 是最大的相关器输出则判为第 1 个波形（见图 4.7）。

  图 4.7a 所示的相关器的形式表明，MPSK 信号的解调总要使用 $M$ 个乘积相关器。此图表明，$M$ 条支路中的每一条都要求参考信号有合适相位偏移。实际应用中采用图 4.7b 实现 MPSK 解调器，它不需要考虑信号集 $M$ 的大小，仅仅需要 $N=2$ 个乘法积分器。由于任何可积分的波形集都可以表示成正交波形的线性组合形式，因此带来了实现上的简便性，如《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.3 小节所述。图 4.12 画出了解调器的实现框图，结合本节前述各式，可表示出接收信号为
$$r\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\left(\cos {\phi }_i\cos {\omega }_{0}t+\sin {\phi }_i\sin {\omega }_{0}t\right)+n\left(t\right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$其中，$\phi =\frac{2\pi i}{M}$，$n\left(t\right)$ 是零均值高斯白噪声过程。注意在图 4.12 中，仅仅只有两个参考信号波形（基本函数）， 上面的相关器参考信号为 ${\psi }_1\left(t\right)\text{=}\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{0}t$，下面的相关器参考信号为 ${\psi }_2\left(t\right)\text{=}\sqrt{\frac{2}{T}}\sin {\omega }_{0}t$。计算上面支路相关器：
$$X={\int }_0^{T}r\left(t\right){\psi }_1\left(t\right)\text{d}t$$计算下面支路相关器：
$$Y={\int }_0^{T}r\left(t\right){\psi }_2\left(t\right)\text{d}t$$

图4.12 MPSK信号解调实现框图

  从图 4.13 中可以看出，通过计算 $\arctan \frac{Y}{X}$ 可得到接收信号的相角 $\hat{\phi }$，其中 $X$ 是接收信号的同相分量，$Y$ 是接收信号的正交分量，$\hat{\phi }$ 是发送信号的 ${\phi }_i$ 的噪声估计。换言之，图 4.12 上支路的相关器产生输出 $X$，$X$ 是矢量 $\mathbf{r}$ 的同相投影的幅度，下支路的相关器产生输出 $Y$，$Y$ 是矢量 $\mathbf{r}$ 的正交投影的幅度，此处 $\mathbf{r}$ 是 $r\left(t\right)$ 的矢量表示。将 $X$ 和 $Y$ 输入到标有 $\arctan \frac{Y}{X}$ 的方框中，区别于发射信号相角 ${\phi }_i$，方框输出的相角值为 $\hat{\phi }$，解调器将选择最接近 $\hat{\phi }$ 的 ${\phi }_i$。也就是说，解调器会对每个 ${\phi }_i$ 计算 $\left|{\phi }_i-\hat{\phi }\right|$ 值，选取最小输出的 ${\phi }_i$。

图4.13 接收信号 r 的同相和正交分量

4.4 FSK 的相干检测

  FSK 调制可以由包含在载波频率中的信息来描述，典型的 FSK 信号波形集可以表示为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left({\omega }_{i}t+\phi \right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$$E$ 是每个码元周期 $T$ 内 $s_i\left(t\right)$ 的能量，假定 $\left({\omega }_{i+1}-{\omega }_i\right)$ 是 $\frac{\pi }{T}$ 的整数倍。相位 $\phi$ 是任意常数，因此可设为 0。假定基本函数集 $\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}\left(j=1,\cdots ,N\right)$ 是正交集，$\left\{{\psi }_j\left(t\right)\right\}$ 最常用的形式是
$${\psi }_j\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{j}tj=1,\cdots ,M$$此处同前面一样，令幅度为 $\sqrt{\frac{2}{T}}$，以归一化匹配滤波器的输出。《Part 3——基带信号解调与检测》的 1.3 小节给出的正交条件，有
$$a_{ij}={\int }_0^T\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos {\omega }_{i}t\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{j}t\text{d}t$$因此
$$a_{ij}=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& \sqrt{E},& & i=j\\ & 0,& & \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$也就是说，第 $i$ 个发送信号矢量定位在第 $i$ 个坐标轴上，与信号空间原点的距离为 $\sqrt{E}$。该方案中，对于给定 $E$ 的 $M$ 进制信号，任意两个信号矢量 ${\mathbf{s}}_i$ 和 ${\mathbf{s}}_j$ 之间的距离为常数：
$$d\left({\mathbf{s}}_i,{\mathbf{s}}_j\right)=\Vert {\mathbf{s}}_i-{\mathbf{s}}_j\Vert =2\sqrt{E}i\ne j$$  图 4.14 描述了对三进制（$M=3$）正交 FSK 信号进行相干检测的信号矢量和判决区域，信号集的大小 $M$ 可以选为 2 的整数次幕，但是在此例中，$M$ 特地选为 3，因为我们希望检测比二进制更大的信号集，但是又希望正交信号空间能够在互相垂直的轴上直观地表示出来。大于 3 显然是不可能的，因为它不能在视觉上反映出相互垂直的概念。在 PSK 中，信号空间分成 $M$ 个不同的区域，每个区域包含一个发送信号矢量。此例中，因为判决区域是三维的，所以判决边界由直线变成平面。通过最优化判决准则，根据接收信号所在的区域将其判决为对应的发送信号。图 4.14 中，接收信号矢量 $\mathbf{r}$ 出现在区域 2，用上述的判决规则，检测器将 $\mathbf{r}$ 判定为信号 ${\mathbf{s}}_2$。由于噪声是高斯随机矢量，因此也有可能 $\mathbf{r}$ 是由 ${\mathbf{s}}_2$ 之外的其他信号产生的。

• 如果发送信号为 ${\mathbf{s}}_2$，$\mathbf{r}$ 等于信号和噪声之和，即 ${\mathbf{s}}_2+{\mathbf{n}}_a$, 则判决为 ${\mathbf{s}}_2$ 是正确的。
• 如果发送信号是 ${\mathbf{s}}_3$，$\mathbf{r}$ 仍等于信号与噪声之和，即 ${\mathbf{s}}_2+{\mathbf{n}}_b$，则判决为 ${\mathbf{s}}_2$ 就是错误的。

FSK 系统相干检测的误差性能将在 7.3 小节讨论。

图4.14 三进制FSK信号空间分割

---

5. 非相干检测

5.1 差分 PSK 的检测

  差分 PSK（DPSK）的调制解调方式涉及到两个独立的过程：编码过程和检测过程。差分编码（differential encoding）是指对数据以差分的形式进行编码的过程，也就是说，出现 0 还是 1 由当前码元与前一码元的相同或不同来决定。对差分编码 PSK 的差分相干检测（differentially coherent detection）是指不需要接收载波的参考相位而直接进行非相干检测的方案。有时差分编码 PSK 也采用相干检测，这将在 7.2 小节具体讨论。

  非相干系统不需要确定到达信号相位的真实值。因此，如果发送波形为
$$s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left[{\omega }_{0}t+{\theta }_i\left(t\right)\right]\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$则接收信号可有如下表示：
$$r\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{T}}\cos \left[{\omega }_{0}t+{\theta }_i\left(t\right)+\alpha \right]+n\left(t\right)\begin{array}{l}0⩽t⩽T\\ i=1,\cdots ,M\end{array}$$这里 $\alpha$ 是任意常数，一般认为是 $0$ 到 $\pi$ 之间均匀分布的随机变量，$n\left(t\right)$ 是 AWGN 过程。

  相干检测运用了匹配滤波器（或等价形式），而对于非相干检测，由于匹配滤波器输出是未知角度 $\alpha$ 的函数，因此不可能采用这种方案。但是，如果假设 $\alpha$ 在两个周期（$2T$）之间变化非常缓慢，则两个连续波形 ${\theta }_j\left(T_1\right)$ 和 ${\theta }_k\left(T_2\right)$ 之间的相位差与 $\alpha$ 是独立的，即
$$\left[{\theta }_k\left(T_2\right)+\alpha \right]-\left[{\theta }_j\left(T_1\right)+\alpha \right]={\theta }_k\left(T_2\right)-{\theta }_j\left(T_1\right)=\phi \left(T_2\right)$$  对 DPSK 进行差分相干检测的基本原理如下：解调器将前一个信号间隔内的载波相位作为相位参考，因为信息的传送是依靠两个连续波形之间的相位差异，所以要使用参考相位需要在发送端对信息进行差分编码。为了发送第 $i$ 个消息（$i=1,2,\cdots ,M$），当前的信号波形相位必须比前面的波形提前 $\phi =\frac{2\pi i}{M}$ 弧度。一般地，检测器将到来信号与本地产生的波形如 $\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{0}T$ 和 $\sqrt{\frac{2}{T}}\sin {\omega }_{0}T$ 进行相关计算得出坐标值，然后检测器测定当前接收信号矢量同前一接收信号矢量之间的角度，如图 4.15 所示。

图4.15 DPSK 信号空间

  一般来说，因为信号波形间的相关性导致了 DPSK 中错误的传播（相邻码元之间），所以 DPSK 信号的效率要低于 PSK。造成 PSK 和 DPSK 这种差异的原因是，前者是将接收信号与原始的无噪声干扰的参考信号比较，而后者则是两个含噪信号之间的比较。因此，DPSK 信号的噪声是 PSK 信号噪声的 2 倍，可以推测，DPSK 估计的误码率大约为 PSK 的 2 倍（3 dB），随着信噪比的增加，这种恶化程度也迅速增加。但是性能的损失换来了系统复杂性的降低，DPSK 检测的误差性能将在 7.5 小节中讨论。

5.2 二进制差分 PSK 举例

  DPSK 差分相干检测的本质是从码元之间的相位变化推断出相应的数据，由于数据是通过验证差分波形检测出来的，所以发送波形必须首先以差分形式进行编码。图 4.16a 说明的是对二进制信息数据流 $m\left(k\right)$ 进行差分编码，$k$ 是采样时间序号。差分编码（图中第 3 行）开始于比特序列 $c$ 的第 1 位（$k=0$），第 1 位可随意选择（这里取 $1$）。一般地，编码比特序列 $c\left(k\right)$ 有两种产生方式：
$$c\left(k\right)=c\left(k-1\right)\oplus m\left(k\right)$$或
$$c\left(k\right)=\overline{c\left(k-1\right)\oplus m\left(k\right)}$$其中，符号 $\oplus$ 表示模 2 相加运算（定义见《Part 2——格式化和基带调制》的 9.3 小节），上划线表示取补。图 4.16a 的差分编码是采用上述第二式获得的。也就是说，如果信息位 $m\left(k\right)$ 和前一编码位 $c\left(k-1\right)$ 相同， 则当前编码位 $c\left(k\right)$ 为 1，否则，$c\left(k\right)$ 为 0。第 4 行是将编码比特序列 $c\left(k\right)$ 转换为相位变化序列 $\theta \left(k\right)$，1 对应 $180°$ 相位变化，0 对应 $0°$ 相位变化。

图4.16 差分 PSK（DPSK）

  图 4.16b 以框图形式描绘了二进制 DPSK 检测方案。注意，图 4.7 中解调器本质上是基本的乘法积分器，对于相干 PSK，仍然将接收信号同参考信号做相关运算。区别在于，这里的参考信号仅是经过延迟后的接收信号。换言之，在每个码元时期使接收的码元与前一码元匹配，两者相关或者反相关（$180°$ 相移）。

  在没有噪声的情况下，让相移序列为 $\theta \left(k\right)$ 的接收信号进入图 4.16b 所示的相关器。

• $\theta \left(k=1\right)$ 与 $\theta \left(k=0\right)$ 匹配，两者具有相同的值 $\pi$，则检测输出的第一位为 $\hat{m}\left(k=1\right)=1$；
• $\theta \left(k=2\right)$ 与 $\theta \left(k=1\right)$ 匹配，也具有相同的值，因此输出为 $\hat{m}\left(k=2\right)=1$；
• $\theta \left(k=3\right)$ 与 $\theta \left(k=2\right)$ 匹配， 具有不同的值，因而 $\hat{m}\left(k=3\right)=0$；
• ……

  有一点必须指出，就误差性能而言，图 4.16b 所示的检测器是次最优的。DPSK 最优差分检测器需要参考载波的频率而不是相位。最优差分检测器框图如图 4.16c 所示，其性能在 7.5 小节中讨论。图 4.16c 中，参考信号的复数形式为 $\sqrt{\frac{2}{T}}{e}^{j{\omega }_{0}t}$，图中表示了一种正交实现，需要使用 $I$ 和 $Q$ 参考波形（见 6.1 小节）。

5.3 FSK 的非相干检测

  在 2.3 小节中给出了 FSK 波形表达式，同样可以采用图 4.7 所示的相关器来实现对 FSK 的非相干检测。但是，在硬件上必须配置能量检测器（energy detector）而不需要相位度量。因此，非相干检测需要的信道分支是相干检测的两倍。图 4.17 表示了如何使用同相信道（$I$）和正交信道（$Q$）对二进制 FSK（BFSK）进行非相干解调。

• 上两条支路是用来检测频率为 ${\omega }_1$ 的信号，$I$ 分支的参考信号为 $\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{1}t$，$Q$ 分支的参考信号为 $\sqrt{\frac{2}{T}}\sin {\omega }_{1}t$；
• 下两条分支是用来检测频率为 ${\omega }_2$ 的信号，$I$ 分支的参考信号为 $\sqrt{\frac{2}{T}}\cos {\omega }_{2}t$，$Q$ 分支的参考信号为 $\sqrt{\frac{2}{T}}\sin {\omega }_{2}t$。

假设接收信号 $r\left(t\right)$ 恰好是 $\cos {\omega }_{1}t+n\left(t\right)$ 的形式，即相位正好是 0，这样接收的信号分量与第一条支路的参考信号的频率和相位匹配。如果那样的话，上面支路的乘法积分器具有最大输出，由于参考信号 $\sqrt{\frac{2}{T}}\sin {\omega }_{1}t$ 与信号分量 $r\left(t\right)$ 是正交的，第二条支路得到接近 0 的输出（求零均值噪声的积分） 。对于正交信号（见 5.4 小节），由于 ${\omega }_2$ 的参考信号也与 $r\left(t\right)$ 的信号分量正交，所以第 3 和第 4 条支路也将得到接近 0 的输出。

图4.17 正交接收实现框图

  现在假定另外一种情况：接收到的信号形式为 $\sin {\omega }_{1}t+n\left(t\right)$。在这种情况下，图 4.17 所示的第二条支路具有最大的输出，而其他几条支路获得接近为 0 的输出。

  在实际情况中，最可能的情况是 $r\left(t\right)$ 具有形如 $\cos \left({\omega }_{1}t+\phi \right)+n\left(t\right)$ 的形式，也就是说，到来的信号与参考信号 $\cos {\omega }_{1}t$ 和 $\sin {\omega }_{1}t$ 均部分相关。因此对于正交信号的非相关正交接收，信号集上每个待选信号都需要 $I$ 和 $Q$ 分支。图 4.17 的框图中，乘积积分后实行了平方运算以避免出现负值，然后将每一信号类（二进制中为 2），$I$ 信道为 $z_1^2$，$Q$ 信道为 $z_2^2$ 相加。最后一级检验统计量 $z\left(T\right)$，根据哪个能量检测器输出最大来判定信号频率为 ${\omega }_1$ 还是 ${\omega }_2$。

  非相干 FSK 检测还有另一种实现方式。利用中心频率为 $f_i=\frac{{\omega }_i}{2\pi }$、带宽为 $W_f=\frac{1}{T}$ 的带通滤波器进行包络检测（envelope detect），如图 4.18 所示。包络检测器由整流器和低通滤波器组成，注意，检测器应当与信号包络而不是与信号本身匹配。定义包络时相位并不重要，因此检测中不使用相位信息。在二进制 FSK 情况下，判决发送信号是 0 还是 1，要根据两个包络检测器中的哪一个在测l量时刻具有最大的幅度值。同样，对于多进制频移键控（MFSK）系统，判决发送波形为 $M$ 个信号中的哪一个，依据是 $M$ 个包络检测器哪一个具有最大输出值。

图4.18 对 FSK 进行非相干包络检测实现框图

  尽管图 4.18 的包络检测器框图看起来比图 4.17 所示的正交接收器更为简单，但由于包络检测器使用了（模拟）滤波器，所以其设计比正交接收器更繁重，开销也更大。正交接收器可以通过数字手段实现，随着大规模集成（LSI）电路的出现，一般更倾向于选择非相干检测。图 4.18 所示的检测器也可以用离散傅里叶变换代替模拟滤波器，这样可以数字化实现，但是这种设计比正交接收器的数字实现仍要复杂。

5.4 非相干正交 FSK 信号需要的频率间隔

  经常用正交信号来实现频移键控（FSK），但不是所有的 FSK 信号都是正交的。如何判断一个信号集中的频率分量是取自于正交集的呢？举个例子，有两个频率分量，$f_1=10000\text{ Hz}$ 和 $f_2=11000\text{ Hz}$，它们互相正交吗？换言之，它们在码元周期 $T$ 内满足不相关的准则吗？没有足够的信息能得出肯定的结论。如果对于频率为 $f_1$ 的分量，在频率为 $f_2$ 处接收器的输出滤波器采样包络为 0 ( 即没有交调失真），则显然 $f_1$ 和 $f_2$ 是正交的。为了保证 FSK 信号集中的各频率分量相互正交，必须规定信号集中任意一对频率分量之间的频率间隔是 1