高中奥数 2021-06-27

2021-06-27-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P70 例5）

证明:任何一个三角形可以被分割成三个多边形(包括三角形),其中之一为钝角三角形,且能重新拼为一个矩形(多边形允许被翻转).

解

若为等腰三角形(如图),且,则取底边中点和底边另一点,连结顶点和底边上这两个点,把三角形分为三部分,易知其中为钝角三角形,且能按图上方法拼成矩形.

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若为非等腰三角形(如图),不妨设为其最大的角.作于点,在线段上取点,使.设、的中点分别为、,连结.则、、四边形可按图方法拼成矩形,且易知为钝角三角形.

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2021-06-27-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P71 例6）

对任意,令.求被3除所得的余数.

分析

因为,,,,所以对按奇偶性分类是自然的.

解

(1)当为奇数时,不妨设.对,如果,则

如果,则.于是,当为奇数时,对,总有.从而.

当或时,就有

当时,就有.

(2)当为偶数时,对,由(1)知,,.于是

当时,共有组,故;

当时,共有组,且,故;

当时,共有组,且,故.

综合(1)、(2)可知:当为奇正整数时,有

当为偶正整数时,有