【泛函分析】Thomae function

定义 $\mathbb{R}$ 上的函数(Thomae function):

$$f(x)=\{\begin{array}{llc}& 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\\ & \frac{1}{q}& |x|=\frac{p}{q},\gcd (p,q)=1\end{array}$$
可以证明: 此函数在有理数点上连续的, 在无理数点上不连续的.
说明: 下文所指的 $n$, $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 分点是指 $\{\frac{k}{n},k\in \mathbb{Z}\}$.
(1) 若 $x\in \mathbb{Q}$, $f(x)\ne 0$, 则对于 $\forall \delta >0$, $(x-\delta ,x+\delta )$ 中存在无理数 $x^{\prime }$, $f(x^{\prime })=0$, $|f(x)-f(x^{\prime })|=|f(x)|$, 因此函数在 $x$ 中不连续.

(2) 若 $x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$, 则对于 $\forall \delta >0$, 记 $\mathrm{floor}(\frac{1}{\delta })=N$, 对于 $n>N$, $(x-\delta ,x+\delta )$ 中必然 $n$ 分割点, 对于 $n=1,\dots ,N$, 记 $d=\inf \{|x-\frac{m}{n}||0\le m\le n,1\le n\le N,m,n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$, 对于 ${\delta }^{\prime }<d$, $(x-{\delta }^{\prime },x+{\delta }^{\prime })$ 只包含 $n>N$ 的分点, 因此在此区间内的有理数点的取值范围为 $\{\frac{1}{n}|n>N\}$. 对于 $\forall ϵ>0$, 取 $\delta >0$ 满足: $\mathrm{floor}(\frac{1}{\delta })>\frac{1}{ϵ}$, 则当 $|x^{\prime }-x|\le \delta$ 时, 若 $x^{\prime }\in \mathbb{Q}$, $|f(x{)}^{\prime }-f(x)|=|f(x^{\prime })|<\frac{1}{\mathrm{floor}(\frac{1}{\delta })}<ϵ$, 若 $x^{\prime }\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ 时, $|f(x^{\prime })-f(x)|=0$, 证毕.

参考: Thomae function, University of Washington.