高中奥数 2021-10-13

2021-10-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P069 例6）

证明MOrley定理:如图,设内有三点、、,,,,则是正三角形.

图1

证明

不妨设对应角为、、,为外接圆半径.

先证,

这是因为,

于是

$\begin{aligned} A F &=A B \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\angle B}{3}}{\sin \left(60^{\circ}-\dfrac{\angle C}{3}\right)}=2 R \cdot \sin \angle C \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\angle B}{3}}{\sin \left(60^{\circ}-\dfrac{\angle C}{3}\right)} \\ &=8 R \cdot \sin \angle C \cdot \sin \left(60^{\circ}+\dfrac{\angle C}{3}\right) \cdot \sin \dfrac{\angle B}{3}. \end{aligned}$

(这里用到.)

类似地有,,于是

$\begin{aligned} EF^{2}&=AE^{2}+AF^{2}-2AE\cdot AF\cos \dfrac{\angle A}{3}\\ &=64R^{2}\sin ^{2}\dfrac{\angle B}{3}\sin^{2} \dfrac{\angle C}{3}\left(\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\dfrac{\angle C}{3}\right)+\sin^{2}\left(60^{\circ}+\dfrac{\angle B}{3}\right)\right)-2\times 64R^{2} \cdot \sin ^{2}\dfrac{B}{3}\sin ^{2}\dfrac{\angle C}{3}\sin \left(60^{\circ}+\dfrac{\angle B}{3}\right)\sin^{2} \left(60^{\circ}+\dfrac{\angle B}{3}\right)\cos\dfrac{\angle A}{3}\\ &=64R^{2}\sin ^{2}\dfrac{\angle B}{3}\sin ^{2}\dfrac{\angle C}{3}\left[\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\dfrac{\angle C}{3}\right)+\sin ^{2}\left(60^{\circ}+\dfrac{\angle B}{3}\right)-2\sin\left(60^{\circ}+\dfrac{\angle B}{3}\right)\cdot \sin \left(60^{\circ}+\dfrac{\angle C}{3}\right)\cdot \cos \dfrac{A}{3}\right]\\ &=64R^{2}\sin ^{2}\dfrac{\angle B}{3}\sin ^{2}\dfrac{\angle C}{3}\left[1+\cos \dfrac{\angle A}{3}\cdot \cos \left(\dfrac{\angle C}{3}-\dfrac{\angle B}{3}\right)-2\sin \left(60^{\circ}+\dfrac{\angle B}{3}\right)\sin \left(60^{\circ}+\dfrac{AC}{3}\right)\cos \dfrac{A}{3}\right]\\ &=64R^{2}\sin ^{2}\dfrac{\angle B}{3}\cdot \sin ^{2}\dfrac{\angle C}{3}\left[1-\cos ^{2}\dfrac{\angle A}{3}\right]\\ &=64R^{2}\sin ^{2}\dfrac{\angle A}{3}\sin ^{2}\dfrac{\angle B}{3}\sin ^{2}\dfrac{\angle C}{3} \end{aligned}$ ,

于是,是关于、、对称的值,所以.

2021-10-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P064 例7）

如图,已知、分别是三角形的外心和内心,,,.问当且仅当,,满足什么条件时,有?证明你的结论.(注:若、重合时,也算成立.)

图2

证明

因为.

令内切圆半径,外接圆半径为.

由欧拉定理,且.

所以.

故,.

所以.

又.

所以.

所以,.

因为,所以,.

所以.

另一方面,.

综上,当且仅当时,.

2021-10-12-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角法 P064 例8）

如图,设是锐角三角形内一点,,,分别交边,,于点,,,已知,求证:是的重心(2007年西部数学奥林匹克)

图1

证明

记,,,用,,分别表示的三个内角的大小.

则

$\begin{aligned}\angle AFE&=\angle BFE+\angle BEF\\ &=\left(\angle B-\angle DBE\right)+\left(\angle DEF-\angle DEB\right)\\ &=\left(\angle B-\angle DBE\right)+\left(\angle B-\angle DEB\right)\\ &=2B-\left(\angle DBE+\angle DEB\right)\\ &=2B-\alpha.\end{aligned}$

同理可证:,.

现在设和的外接圆半径为和,则由正弦定理及, 故.

类似可得和,的外接圆半径相等.

所以,,和这四个三角形的外接圆半径都相同,记为.

利用正弦定理得:

.(1)

再由Ceva定理可知,结合上式得

(2)

若,则,于是

类似可知.

注意到,当时,有.

所以,由(这里用到为锐角三角形)可得,同理,.

这与(2)矛盾.

类似地,若,可得(2)的左边小于右边,矛盾所以.

同理,.

因此,由(1)可知,,分别为,,的中点.

从而,为的重心.

高中奥数 2021-10-13

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