递归算法和斐波那契数列

目录

1、递归算法

（1）什么是递归？

（2）递归的三要素

2、斐波那契数列

（1）什么是斐波拉契数列？

（2）用递归方法求解斐波那契数列

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1、递归算法

（1）什么是递归？

递归主要是指在函数的定义中使用函数自身的方法。

顾名思义，递归主要包含两个意思，递和归，这个是递归思想的精华所在。递归就是有去（递去）有回（归来）。“有去” 是指递归问题可以分解成若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以和原问题用相同的方法来求解。“有回” 是指这些问题的演化过程是一个从大到小，并且最终会有一个明确的终点，一旦达到终点，就可以从终点原路返回，解决原问题。

更为直接的说法就是：递归的基本思想就是把大问题转化为相似的小问题解决。特别是在程序中的函数实现时，大问题的解决方案和小问题是一模一样的，所以就产生解决一个问题会调用函数本身的情况，这个也是递归的定义。

（2）递归的三要素

1. 递归终止条件；
2. 递归终止时候的处理方法；
3. 递归中重复的逻辑提取，缩小问题规模。

递归终止条件

递归应该是有去有回的，这样递归就必须有一个明确的分界点，递归可以在什么时候结束。程序一旦达到这个临界点，就不用继续递归重复下去了。简单来说，递归的终止条件就是为了防止出现无限递归的情况。

递归终止时的处理方法

递归需要一个终止条件，在达到递归的终止条件时，需要有一个对应终止条件的程序处理方法。一般而言，在达到递归的终止条件时，对应的问题都是很容易解决的，可以快速的给出问题的解决方案。

递归中重复的逻辑提取，缩小问题规模

递归的本质上还是要将一个大的问题分解成各个逻辑相同的小问题，所以递归过程中一个重要的步骤就是提取递归中重复的逻辑规则，以便利用相同的处理方式进行处理。

按照以上递归的三要素，递归程序的一般处理可以总结成下面的伪代码：

recursion(big_problem){
   if (end_condition){  //满足递归的终止条件
       solve_end_condition;  //处理终止条件下的逻辑
       end;  //递归结束
   }else {
       recursion(small_problem);  //递归中重复的逻辑提取，缩小问题规模
   }
}

2、斐波那契数列

（1）什么是斐波拉契数列？

斐波那契数列（Fibonacci sequence），也称之为黄金分割数列，由意大利数学家列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci）提出。斐波那契数列指的是这样的一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前面两项之和。在数学上，斐波那契数列可以被递推的方法定义如下：

F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

斐波那契数列是数学上面一个经典的例子，并且在日常生活中有很多应用，他还与黄金分割有着密不可分的联系，而且当 n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割值 0.618。

（2）用递归方法求解斐波那契数列

利用递归的思想去求解斐波那契数列，当给出一个斐波那契中第几项的数字，然后求解出对应的斐波那契数值。

1. 斐波那契数列的递归重复逻辑提取 -> F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
2. 斐波那契数列的递归终止条件 -> F(1)，F(2) 
3. 斐波那契数列递归终止时候的处理方法 -> F(1)=1，F(2)=1

使用 Java 代码来实现对斐波那契数列的计算：

/**
 * @author swadian
 * @date 2022/5/8
 * @Version 1.0
 * @describetion
 * 斐波那契数列（Fibonacci sequence）
 */
public class FibonacciSequence {
    /**
     * 斐波那契数列指的是这样的一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，
     * 这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前面两项之和。
     * 在数学上，斐波那契数列可以被递推的方法定义如下：
     * F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
     */
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibonacci(9));
    }

    // 斐波那契数列数列的计算
    public static int fibonacci(int n){
        // 如果是终止条件，按照要求返回终止条件对应结果
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1;
        }
        // 非终止条件，按照要求把大的问题拆分成小问题，调用自身函数递归处理
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }
}