【数据结构与算法分析inC-MarkAllen】1-数学基础

数据结构研究组织大量数据的方法，算法分析是对算法运行时间的评估

1. 第一章

在程序正确运行前提下，保证在大量数据集或者特殊情况下能够运行并得出正确结果

1.1 进行算法分析目的

1.1.1 适应大量数据情况

由于简单选择排序，冒泡排序，插入排序的时间复杂度都是 $O(n^2)$ 。只要基于此思想，时间复杂度都不会低，如后例：

从 $N$ 个数中选择第 $k$ 大的数

递减排序，取第K大的数

冒泡排序

//对全部数据进行冒泡排序
void Bubble_Sort(int a[],int n){
	bool flag = false;
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		for(int j = 1;j <= n-i;++j){
			if(a[j] < a[j+1]){
				swap(a[j],a[j+1]);
				flag = true;
			}
		}
	
	if(flag == false)
		return ;
	}
}

void Select_Sort(int a[],int n){
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int maxIdx = i;
		for(int j = i+1;j <= n;++j){
			if(a[j] > a[maxIdx])
				maxIdx = j;
		}
		if(maxIdx != i)
			swap(a[maxIdx],a[i]);
	}	
}

void KBig(int a[],int n,int k){

	//先排序
	Bubble_Sort(a,n);
	Select_Sort(a,n);

	return a[k];
}

插入排序思想

取前 $K$个数递减排序。再取新数 $x_i$ ，从第一个数开始比较

• $x_i\ge a_i$ ：则将该数插入
• $x_i<a_k$ ：则不做操作

//从小到大排序
void Direct_InsertSort(ElemType A[], int k){
	int i,j;
    for(i = 2;i <= k;++i){
        if(A[i] > A[i-1]){
            //若待插入元素A[i] > A[i-1] ，从后向前找插入位置
            A[0] = A[i];
            //A为一固定序列，且数据存储已定，所以需要哨兵记录待插入元素      
            for(j = i-1;j >= 0 && A[0] > A[j];--j)
                A[j+1] = A[j];
           	A[j+1] = A[0];
        }
    }
}

int KBig_Insert(int a[],int n,int k){
	///sort(a,k);//将前k个数据降序排序
	Direct_InsertSort(a,k);
	for(int i = k+1;i <= n;++i){
		if(a[i] > a[k]){
			a[0] = a[i];
			for(int j = k;j >= 0 && a[0] > a[j];--j)
				a[j+1] = a[j];
			a[j+1] = a[0];
		}
	}

	return a[k];//处理完全部数据后，第k个数据为所求
}

int main(){
	int n;//输入n省略
	int a = (int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		//初始化n个数据
		...
	}
	KBig_Insert(a,n,k);

	return 0;
}

1.1.2 边界条件正确

1.2 数学知识复习

1.2.1 指数

$$X^A{X}^B=X^{A+B}$$

$$\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B}$$

$$(X^A{)}^B=X^{AB}$$

$$X^N+X^N=2X^N$$

1.2.2 对数

在计算机中，除非特别声明，所有对数都是以2为底的

$$lo{g}_{A}B=\frac{lo{g}_{C}B}{lo{g}_{C}A};C>0$$

$$logAB=logA+logB$$

$$log\frac{A}{B}=logA-logB$$

$$log(A^B)=BlogA$$

$$logX<X,X>0$$

$$log1=0,log2=1,log1024=10$$

1.2.3 级数

几何级数

有是否收敛的区别

由等比数列求和

$$\sum _{i=0}^N{A}^i=\frac{1-A^{N+1}}{1-A}，0<A<1，当N\to \infty 时，收敛于\frac{1}{1-A}$$
证明：

$$\begin{array}{rl}& S=1+A+A^2+\cdots \\ & AS=A+A^2+A^3+\cdots \\ & S-AS=1\Rightarrow S=\frac{1}{1-A}\end{array}$$

---

$$\sum _{i=1}^{\infty }\frac{i}{2^i}=2$$

证明：
$$\begin{array}{rl}& S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots \\ & 2S=1+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\cdots \\ & 2S-S=1+1\Rightarrow S=2\end{array}$$

算术级数

可以通过基本公式计算值

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{N}i=\frac{(1+N)N}{2}\approx \frac{N}{2}\\ & \sum _{i=1}^N{i}^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx \frac{N^3}{3}\\ & ⋮\\ & \sum _{i=1}^n{i}^k=\frac{N^{k+1}}{|k+1|},k\ne -1\\ & 对于k=-1,调和数H_N=\sum _{i=1}^N\frac{1}{i}=lo{g}_{e}N\end{array}$$

SP：
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{N}f(N)=Nf(N)\\ & \sum _{i=n_0}^{N}f(i)=\sum _{i=1}^{N}f(i)-\sum _{i=n_1}^{n_0-1}f(i)\end{array}$$

1.2.4 模运算

A与B模N同余，记为 $$A\equiv B(modN)$$ 如： $$81\equiv 61\equiv 1(mod10)$$

性质

$$\begin{array}{rl}A\equiv B(modN)& \Rightarrow (A+C)\equiv (B+C)(modN)\\ & \Rightarrow AD\equiv BD(modN)\end{array}$$

1.2.5 证明方法

归纳法

1. 证明基准情形
2. 归纳假设：假设定力对直到某个有限数k的所有情况都成立，在通过这个假设证明后续值成立。

斐波那契

$$\{\begin{array}{ll}& F_0=1,F_1=1\\ & F_i=F_{i-1}+F_{i-2},i\ge 2\end{array}$$

证明：$$F_{k+1}<{\left(\frac{5}{3}\right)}^{k+1}$$ 证明：
$$\begin{array}{rl}& 当k=0时，F_1=1<\frac{5}{3}，则在k=0时成立\\ & 假设k=m-1时，有F_m<{\left(\frac{5}{3}\right)}^m成立\\ & 则当k=m时，F_{m+1}<{\left(\frac{5}{3}\right)}^m+{\left(\frac{5}{3}\right)}^{m-1}<\left(\frac{3}{5}\right){\left(\frac{5}{3}\right)}^{m+1}+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2{\left(\frac{5}{3}\right)}^{m+1}\\ & <\left(\frac{3}{5}+\frac{9}{25}\right){\left(\frac{5}{3}\right)}^{m+1}=\frac{24}{25}{\left(\frac{5}{3}\right)}^{m+1}<{\left(\frac{5}{3}\right)}^{m+1}\end{array}$$

反证法

1.3 递归简论

四条基本法则

• 基准情形：某些基准情形，无需递归就能解出
• 不断推进：每次递归调用，必须向基准情形推进（不能出现循环定义）
• 设计法则：假设所有递归调用都能运行
• 合成效益法则：不同递归调用做不同的工作

void printOut(unsigned int N){
	if(N >= 10)
		printOut(N/10);
	// printDight(n)表示将单个数字输出到显示终端
	printDigit(N-(N/10)*10);//printDigit(N%10);	
}

• 取模运算耗费很大？

练习题

1.3 只使用处理IO的 PrintDigit 函数，编写一个可以输出任意实数的函数

由于实数用计算机表示会存在舍入误差(RoundUp)，所以在输出前，需按照舍入策略进行舍入。

• 事前指定小数点后保留 DecPlaces 位

• 舍入策略为四舍五入

  小数点后第 DecPlace+1 位加 $0.5\times 10^{-DecPlaces}$

# include

using namespace std;

//四舍五入
double RoundUp(double N,int DecPlaces){
    int i;
    double AmountToAdd = 0.5;

    //小数点后移 DecPlaces 位
    for(i = 0;i < DecPlaces;++i)
        AmountToAdd /= 10;

    return N+AmountToAdd;
}

//输出小数部分
void PrintFractionPart(double FractionPart,int DecPlaces){
    int i,ADigit;

    for(i = 0;i < DecPlaces;++i){
        FractionPart *= 10;//小数点后第一位移到个位
        ADigit = (int)FractionPart;//输出个位，即小数点后第一位
        cout << ADigit;
        FractionPart = FractionPart - ADigit;//递归输出后续小数部分
    }
}

void PrintReal(double N,int DecPlaces){
    int IntPart;
    double FractionPart;

    if(N < 0){
        putchar('-');
        N = -N;
    }

    N = RoundUp(N,DecPlaces);//四舍五入

    IntPart = (int)N;
    FractionPart = N-IntPart;//获取小数部分
    cout << IntPart;
    if(DecPlaces > 0)
        putchar('.');

    PrintFractionPart(FractionPart,DecPlaces);
}

int main(){
    cout << "输入需要输出的实数:";
    double N;
    cin >> N;
    cout << "输入小数点后位数:";
    int DecPlaces;//精度
    cin >> DecPlaces;

    PrintReal(N,DecPlaces);

    return 0;
}

1.4 语言提供 #include filename 的语句，用于读入 filename ，并将它插入到 include 语句处

• 文件本身还可以包含 #include 语句
  • 不能 include 自身(self-referential)

思路：

1. 逐行检测源代码，是否存在 #include SomeFile

2. 检查 list 中，是否有文件名 SomeFile

   • 有，则 continue
   • 无：
     • 调用 ProcessFile(SomeFile); ，将文件内容插入当前位置；
     • 将 SomeFile 入 list

   list 列表，维护由 ProcessFile 处理过的文件，避免重复调用

# include
# include
#include
#include

using namespace std;

int main(int argc, char const *argv[]){
    /* code */
    FILE *fp = fopen("source.txt", "w+");

    fputs("#include \n", fp);
    fputs("#include \n", fp);
    fputs("#include \n", fp);
    fputs("#include \n", fp);
    fputs("#include \n", fp);
    fputs("\n", fp);
    fputs("int main(){\n", fp);
    fputs(" cout << 'Hello' <, fp);
    fputs(" return 0;\n", fp);
    fputs("};\n", fp);
    rewind(fp);

    vector<string> list;

    char str[1024];
    char st[1024];
    string tmp;
    while(fgets(str, 1024, fp) && !feof(fp)){
        
        tmp = str;
        //去除空格
        tmp.erase(remove_if(tmp.begin(), tmp.end(), [](char c) {
                        return (c == ' ');
                    }), tmp.end());//网上找的，之后再说
        if('#' == str[0]){
            string filename = tmp.substr(tmp.find('<')+1,tmp.find('>')-tmp.find('<')-1);//str.substr(beginIdx,len)
            vector<string>::iterator idx = find(list.begin(),list.end(),filename);
            if(list.end() == idx){
                cout << str;
                // cout << filename << endl;
                list.push_back(filename);
                //ProcessFile(filename);查找filename文件，将其插入当前位置
                FILE *fo = fopen((filename+".txt").data(), "r");
                while(fgets(st, 1024, fo)){
                    string stt = st;
                    cout << stt;
                }
                cout << endl;
            }else{
                continue;
            }
        }else{
            cout << str;
        }
    }
    
    fclose(fp);

    return 0;
}

1.5 证明公式

$lo{g}_{2}X<X$ 对所有 $X>0$ 成立
证明：

	$logX$	$X$
$(0,1]$	$\le 0$	$>0$
$(1,2]$	$\le 1$	>1
$(2,4]$	$\le 2$	$>2$
$(p,2p]$	$\le p$	$>p$

$$\begin{array}{rl}& 对于logY=log(2\times \frac{Y}{2})=1+log\frac{Y}{2}<1+\frac{Y}{2}\le \frac{Y}{2}+\frac{Y}{2}=Y\Rightarrow lo{g}_{2}Y<Y\end{array}$$

1.6 级数求和

$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{4^i}$
$$\begin{array}{rl}& S=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{4^i}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots ,4S=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{4}{4^i}=4+1+\frac{4}{4^2}+\cdots =4+1+\frac{1}{4}+\cdots \\ & 3S=4S-S=4\Rightarrow S=\frac{4}{3}\end{array}$$

---

$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i}{4^i}$
$$\begin{array}{rl}& S=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i}{4^i}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\cdots ,4S=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i}{4^i}=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\cdots \\ & 3S=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{4}{3}\Rightarrow S=\frac{4}{9}\end{array}$$

---

$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i^2}{4^i}$
$$\begin{array}{rl}& S=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i^2}{4^i}=\frac{1}{4}+\frac{4}{4^2}+\frac{9}{4^3}+\cdots ,4S=1+1+\frac{9}{4^2}+\cdots \\ & 3S=1+\frac{3}{4}+\frac{5}{4^2}+\cdots +\frac{2i+1}{4^i}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{4^i}+2\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i}{4^2}=\frac{4}{3}+\frac{8}{9}=\frac{20}{9}\end{array}$$
d. 太复杂，思路就是上述解法不断迭代

1.7 估计$\sum _{i=\lfloor \frac{N}{2}\rfloor }^N\frac{1}{i}$

$S={\sum }_{i=1}^N-\sum _1^{i=\lfloor \frac{N}{2}\rfloor -1}\frac{1}{i}=lnN-ln\frac{N}{2}\approx ln2$

1.8 $2^{100}\left(mod5\right)$
$$\begin{array}{rl}& 2^1\left(mod5\right)=2,2^2\left(mod5\right)=4,2^3\left(mod5\right)=3,2^4\left(mod5\right)=1,2^5\left(mod5\right)=2\\ & 2^{100}\left(mod5\right)={\left(2^4\right)}^{25}\left(mod5\right)=1\end{array}$$

1.9 令 $F_i$ 为斐波那契数，证明

$F_0=1,F_1=1,F_2=2,F_m=F_{m-1}+F_{m-2}$

$\sum _{i=1}^{N-2}{F}_i=F_N-2$
归纳法：
$$\begin{array}{rl}& N=3时，F_1=1，F_3-2=1=F_1,等式成立\\ & 假设N=m时，有\sum _{i=1}^{m-2}{F}_i=F_m-2\\ & 当N=m+1时，\sum _{i=1}^{m-1}{F}_i=F_{m-1}+\sum _{i=1}^{m-2}{F}_i=F_{m-1}+F_m-2=F_{m+1}-2,等式成立\end{array}$$

---

$F_N<{\varphi }^N,其中\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$$\begin{array}{rl}& {\varphi }^2=\frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=1+\varphi \Rightarrow 1=\frac{1}{\varphi }+\frac{1}{{\varphi }^2}\\ & 当N=1时，F_1=1,\varphi >F_1\\ & 假设，当N<k,有F_N<{\varphi }^N成立，\\ & 当N=k+1时，F_{k+1}=F_k+F_{k-1}<{\varphi }^k+{\varphi }^{k-1}={\varphi }^{k+1}\left(\frac{1}{\varphi }+\frac{1}{{\varphi }^2}\right)={\varphi }^{k+1}\\ & 等式成立\end{array}$$
1.10 证明公式

$\sum _{i=1}^N(2i-1)=N^2$
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^N(2i-1)=2\sum _{i=1}^{N}i-\sum _{i=1}^{N}1=N(N+1)-N=N^2\end{array}$$

---

$\sum _{i=1}^N{i}^3={\left(\sum _{i=1}^{N}i\right)}^2$
归纳法证明：
$$\begin{array}{rl}& N=1时，等式成立\\ & 假设N=N时，有等式\sum _{i=1}^N{i}^3={\left(\sum _{i=1}^{N}i\right)}^2成立\\ & \sum _{i=1}^{N+1}{i}^3=(N+1{)}^3+\sum _{i=1}^N{i}^3=(N+1{)}^3+\frac{N^2(N+1{)}^2}{4}={\left[\frac{(N+1)(N+2)}{2}\right]}^2={\left[\sum _{i=1}^{N+1}i\right]}^2\\ & 可知N=N+1时，等式成立，故上述等式成立\end{array}$$