微积分——Rolle定理的理解(罗尔定理)

极值定理(Extreme Value Theorem)指出，闭区间[a,b]上连续的函数既有最大值，也有最小值。然而，其最大最小值都可能发生在端点。罗尔定理(Rolle’s Theorem)以法国数学家Michel Rolle(1652-1719)的名字命名，它给出了极值存在于闭区间内部(interior)(而不是端点处)的条件。

法国数学家米歇尔·罗尔 (Michel Rolle) 于 1691 年首次发表了以他的名字命名的定理。然而，在此之前，罗尔是微积分最直言不讳的批评者之一，指出微积分给出的结果是错误的，而且是基于不可靠的推理。在晚年，罗尔开始看到微积分的用处。

罗尔定理(Rolle’s Theorem)：令f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。假如f (a) = f (b),则在开区间(a,b)中存在至少一个点c,满足f ’(c) = 0。

或者，换一种描述。令f为满足以下三个假设条件(hypotheses)的函数：

(1) f在闭区间[a,b]上连续，

(2) f在开区间(a,b)上可导，

(3) f (a) = f (b)，

则在开区间(a,b)中存在至少一个点c,满足f ’(c) = 0。

对于这几个假设条件的理解：

(1) 假设f 在闭区间[a,b]上连续,这一条实际是满足极值定理的条件，满足这个条件，就说明函数f在闭区间[a,b]上既有最大值也有最小值，只不过这个极值有可能发生在两个端点处。

(2) 假设f 在开区间(a,b)上可导，也就是说函数f在开区间上的导数存在。为什么要刨去两个端点呢？因为在这两个端点处，导数可能不存在；另外，定理是为了将极值限定在开区间内部。函数在开区间内可导，就排除了3种情况：任何不连续点，点不连续，自然没法产生变化率；角点(corners)，即函数产生了突变，没有一个明确定义的导数,角点处左右极限不相等；垂直切线，垂直切线没有导数，且函数值没有最大最小，无穷大无穷小。

(3) f (a) = f (b)，这个条件是为了把常量函数包括进去，常量函数其导数为0；此外，限定了两点的函数相等，从直观上来说，不管你函数图像在闭区间中是上升还是下降，你的函数值最终都会回到这个值，既然上升了，又下降到这个值，那么你中间一定有一个极大值，反之亦然；例如，函数在a点之后上升了，那么由于这个条件的限制，你在某一处一定会下降，从而回到b点时下降到等于a点的函数值；对于a点之后下降了也是一样的道理。

参考资料：

<> Ron Larson,The Pennsylvania State University The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida

<> James Stewart