蓝桥杯：简单DP&闫氏思考法

前言：

蓝桥杯对DP的考察还是比较多的，引起重视。

蓝桥杯最常见的三种形式:选择问题/组合问题（eg:背包问题 在众多选法中选择一个最优的选法）、路线问题（规定规则，按照这个规则走，找出最优的一条路线）、线性问题（一维的，例如最长上升子序列

有时候单独出现，经常是这三种形式的组合问题

建议：多做题，用过这个状态表示，考试时想出来这种状态表示概率才比较大

经验：

1.状态表示：第一维选择前i个物品

第二维一般是各种限制，体积、重量、选几个......

属性：Max/Min/数量

2.状态计算：集合划分为若干个子集，依据是找最后一个不同点

集合划分原则：不重不漏

3.优化：DP问题的所有优化都是看能不能对代码进行等价变形，换而言之优化后和问题本身没有关系，只和代码逻辑有关系

先用朴素的方法分析，在此基础上看能不能优化

• 选择问题

例题:  acWing2. 01背包问题

1.状态表示：

集合 所有只考虑前i个物品总体积不超过j的选法的集合

属性 Max

f[i][j]

2.状态计算：

（1）所有选择第i个物品的方案 f[i-1][j]

（2）所有不选择第i个物品的方案 f[i-1][ j-v[i] ]+w[i]

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][ j-v[i] ]+w[i])

3.优化：

滚动数组

4.代码

（1）朴素写法

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
  cin>>n>>m;
  for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    for(int j=0;j<=m;j++)
    {
      f[i][j]=f[i-1][j];
      if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }
  }
  cout<

（2）优化写法

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
  cin>>n>>m;
  for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    for(int j=m;j>=v[i];j++)
    {
      f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
  }
  cout<

• 路线问题

例题：acWing1015. 摘花生

1.状态表示：

集合  所有从（1,1）走到（i,j）的路线

属性  Max

f[i][j]

2.状态计算

（1）最后一步是从上面下来  f[i-1][j]+w[i][j]

（2）最后一步是从左边过来的  f[i][j-1]+w[i][j]

f[i][j]=max(f[i-1][j]+w[i][j],f[i][j-1]+w[i][j])

3.代码

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=110;
int n,m;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
   int t;
   scanf("%d",&t);
   while(t--)
   {
       scanf("%d%d",&n,&m);
       for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++)
           scanf("%d",&w[i][j]);
       for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++)
             f[i][j]=max(f[i-1][j]+w[i][j],f[i][j-1]+w[i][j]);
       printf("%d\n",f[n][m]);
   }
   return 0;
}

• 线性问题

例题：acWing 895. 最长上升子序列

1.状态表示：

集合  所有以a[i]结尾的严格单调上升子序列

属性  Max

f[i]

2.状态计算

最后一个不同点是倒数第二个数

（1）以a[1]结尾的上升子序列  f[1]+1

（2）以a[2]结尾的上升子序列  f[2]+1

...（i-1） 以a[i-1]结尾的上升子序列 f[i-1]+1

(i)空 1

f[i]=max( f[1]+1,f[2]+1,...,f[i-1]+1,1)

3.代码

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int a[N],f[N];
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    f[i]=1;
    for(int j=1;j