【CF1772D】Absolute Sorting（数学，不等式）

【题目描述】
给定一个长度为$n$的正整数序列$a$，请你选择一个整数$x(0\le x\le 10^9)$，将所有的$a_i$变为$|x-a_i|$，使其满足：$a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$。如果存在多个解请任意输出一个，如果无解请输出$-1$。

【输入格式】
第一行一个整数$t(1\le t\le 2\times 10^4)$，表示测试样例的数量。
对于每组测试样例第一行输入一个整数$n(2\le n\le 2\times 10^5)$。
第二行输入$n$个整数$a_1,a_2,\dots ,a_n(1\le a_i\le 10^8)$。
数据保证每组测试用例中的$n$的和不超过$2\times 10^5$。

【输出格式】
对于每组测试用例，输出一行共一个整数$x$。

【输入样例】

8
5
5 3 3 3 5
4
5 3 4 5
8
1 2 3 4 5 6 7 8
6
10 5 4 3 2 1
3
3 3 1
3
42 43 42
2
100000000 99999999
6
29613295 52036613 75100585 78027446 81409090 73215

【输出样例】

4
-1
0
42
2
-1
100000000
40741153

【说明/提示】
In the first test case, after using $x=4$, the array becomes $[1,1,1,1,1]$.
In the third test case, after using $x=0$, the array becomes $[1,2,3,4,5,6,7,8]$.
In the fourth test case, after using $x=42$, the array becomes $[32,37,38,39,40,41]$.

【分析】

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对于任意的$i$，操作后的序列满足$a_i\le a_{i+1}$，因此只需要比较相邻元素即可，我们分以下几种情况讨论：

• $a_i=a_{i+1}$时，$x$取任何值在操作完后都满足$a_i\le a_{i+1}$，即$x$的取值范围为$0\le x<+\infty$。
• $a_i<a_{i+1}$时，若要满足$|a_i-x|\le |a_{i+1}-x|$，则$x$的取值范围为$0\le x\le \lfloor \frac{a_i+a_{i+1}}{2}\rfloor$。
• $a_i>a_{i+1}$时，若要满足$|a_i-x|\le |a_{i+1}-x|$，则$x$的取值范围为$\lceil \frac{a_i+a_{i+1}}{2}\rceil \le x<+\infty$。

因此我们可以遍历所有相邻元素，求出$x$的所有取值范围，如果有公共部分则输出任意一个数即可，否则无解。

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【代码】

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 200010;
int a[N];
int n;

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
        int l = 0, r = 1e8;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
            if (a[i] < a[i + 1]) r = min(r, (int)floor(((double)a[i] + a[i + 1]) / 2));
            else if (a[i] > a[i + 1]) l = max(l, (int)ceil(((double)a[i] + a[i + 1]) / 2));
        if (l > r) cout << -1 << endl;
        else cout << l << endl;
    }
    return 0;
}