《算法竞赛进阶指南》0x52 背包

0x52 背包

数字组合

题意

从 $N$ 个正整数中选出若干数，和为 $M$，询问方案数

解析：

01背包。

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int n, m;
int f[maxn]; 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	f[0] = 1;
	for(int i = 1, v; i <= n; i++){
		cin >> v;
		for(int j = m; j >= v; j--)
			f[j] += f[j-v];
	}
	cout << f[m];
	return 0;
}

自然数拆分

题意：

给定一个数 $N$，将 $N$ 拆成若干整数相加的形式。不考虑加数的顺序。至少拆成两个整数

解析：

完全背包。

令 $f_{i,j}$ 为使用前 $i$ 个数将 $j$ 拆分的方案数，且没有拆成两个数的限制。

因为一个数必须拆成至少两个加数，所以不能将 $j$ 拆成 $j$。所以答案为 $f_{n-1,n}$。

滚掉一维。

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 2147483648;
typedef pair<int, int> pii;

ll f[maxn];
int n;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n;
	f[0] = 1;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		for(int j = i; j <= n; j++)
			f[j] = (f[j]+f[j-i]) % mod;
	}
	cout << f[n] << endl;
	return 0;
}

陪审团

题意：

$n$ 个人，每个人有两个参数 $p_i,d_i$。从中选出 $m$ 个人，使 $|D-P|$ 最小，$D$ 为选出来的人的 $d_i$ 和，$P$ 同理。如果方案不唯一，选择 $D+P$ 最大的方案。

解析：

令 $f_{i,j,k}$ 为在前 $i$ 人，选出 $j$ 人，$D-P=k$ 的最大的 $D+P$

$k$ 有可能是负数，加上偏移量 $base=400$

如果不选第 $i$ 个人: $f_{i,j,k}=f_{i-1,j,k}$

如果选第 $i$ 个人: $f_{i,j,k}=f_{i-1,j-1,k-d_i+p_i}+d_i+p_i$

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 2e2+10;
const int maxm = 8e2+10;
const int base = 400;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int n, m;
int f[maxn][25][maxm]; 
int a[maxn], b[maxn];
int main(){
	
	int T = 1;
	vector<int> res;
	while(1){		
		res.clear();
		scanf("%d %d", &n, &m);
		if(n == m && n == 0)
			break;
		memset(f, -INF, sizeof(f));	
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d %d", &a[i], &b[i]);
		//for(int i = 0; i <= m; i++)	
		f[0][0][base] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = 0; j <= m; j++){
				for(int k = 0; k <= base * 2; k++){
					f[i][j][k] = f[i-1][j][k];
					if(j == 0)
						continue;
					int c = k - a[i] + b[i];
					if(c < 0 || c > 800)
						continue;
					f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i-1][j-1][c] + a[i] + b[i]);				
				}
			}
		}
		
		int v = 0;
		while(f[n][m][base-v] < 0 && f[n][m][base+v] < 0)
			v++;
		if(f[n][m][base-v] > f[n][m][base+v])
			v = base-v;
		else
			v = base+v;
		
		int x = n, y = m;
		int sump = 0, sumd = 0;
		while(y){
			if(f[x][y][v] == f[x-1][y][v])
				x--;
			else{
				res.push_back(x);
				v -= (a[x]-b[x]);
				x--, y--;
			}
		}
		for(int i = 0; i < res.size(); i++){
			sump += a[res[i]];
			sumd += b[res[i]];
		}
		printf("Jury #%d\n", T++);
        printf("Best jury has value %d for prosecution and value %d for defence:\n", sump, sumd);
        sort(res.begin(), res.end());
		for(int i = 0; i < res.size(); i++){
            printf(" %d", res[i]);
        }
        putchar('\n');
        putchar('\n');
	}
	return 0;
}

硬币

题意：

给定 $N$ 种硬币，其中第 $i$ 种硬币的面值为 $A_i$，共有 $C_i$ 个。

从中选出若干个硬币，把面值相加，若结果为 $S$，则称“面值 $S$ 能被拼成”。

求 $1\sim M$ 之间能被拼成的面值有多少个。

解析：

多重背包。

二进制拆分，将每种物品拆成 $2^0,2^1,...$ 个，然后01背包。

时间复杂度为 $O(nmlogc)$，没法通过此题。

正解应为单调队列优化。大致思路是：将体积按照对 $A_i$ 的余数分组，组之间互不影响。在同一组内部，维护一个价值递增的单调队列。用单调队列优化dp的转移。（因为比他set过了，就没写单调队列）

但对于此题，二进制拆分过不了，可以用bitset优化一下就过了。

代码：

#include
#include
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e2+10;
const int maxm = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int a[maxn], c[maxn], w[maxm], tot;
int n, m;
bitset<maxm> f;

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);

	while(1){
		cin >> n >> m;
		if(n == 0 && m == 0)
			break;
		f.reset();
		tot = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> a[i];
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> c[i];
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			int tmp = a[i];
			int cnt = 0, curw = 1;
			while(cnt + curw <= c[i]){
				w[++tot] = a[i];
				cnt += curw;
				
				curw <<= 1;
				a[i] <<= 1;				
			}
			c[i] -= cnt;
			if(c[i])
				w[++tot] = tmp * c[i];
		}
		
		f[0] = 1;
		for(int i = 1; i <= tot; i++){
			f = f | (f << w[i]);
		}
		int res = 0;
		for(int i = 1; i <= m; i++)
			res += f[i];
		cout << res << endl;
	}
	
	return 0;
}