高中奥数 2022-01-03

2022-01-03-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚最小数原理与无穷递降法 P015 例4）

证明:不定方程没有正整数解.

证明

只需证方程

没有正整数解.

若否,设(1)有正整数解,我们取使之最小的那组解.这时,设、的最大公因数为,记为,则,故,进而,所以(否则也是(1)的解),因此,是不定方程

的一组本原解,不妨设为偶数,由(2)的通解,知存在,,、一奇一偶,使得

由为偶数,知为奇数,进而,由,可知存在、,,、一奇一偶,使得

此时,由,知,于是、、都是完全平方数.这样,可设,,,,就有,其中,与是(1)的正整数解中最小那组矛盾.

所以,(1)没有正整数解,命题获证.

说明

这里用到无穷递降法的另一种表述:“若命题对某些成立,设是使成立的最小正整数(的存在性由最小数原理可知),则可以证明存在,使得成立.”依此导出对任意,都有不成立.

2022-01-03-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚最小数原理与无穷递降法 P015 例5）

设为给定的正整数.问:是否存在一个元素个数大于的由非零平面向量组成的满足如下条件的有限集合?

(1)对中任意个向量,都可以在中另选出个向量,使得这个向量之和等于零;

(2)对中任意个向量,都可以在中另选出个向量,使得这个向量之和等于零.

解

不存在这样的集合.

事实上,若有这样的,由于为有限集,故从中取个向量的方法数是有限种.存在一种选取,使所得的个向量之和的模长最大,设这个向量是,并记.

过原点作与垂直的直线,则将平面分为两个部分,记中与在同侧的向量组成的集合为,与一在同一侧及在上的向量组成的集合为,则,.

由条件(2)知,中存在向量,使得,即.

下证:不存在向量,使得,但.

若存在这样的,则.于是,

$\left|\boldsymbol{v}_{1}+\cdots+\boldsymbol{v}_{n-1}+\boldsymbol{v}\right|^{2}=\left|\boldsymbol{v}-\boldsymbol{s}\right|^{2}=\left|\boldsymbol{s}\right|^{2}-2\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{s}+\left|\boldsymbol{v}\right|^{2}>\left|\boldsymbol{s}\right|^{2},$

这与的取法矛盾.

所以,.

另一方面,由(1)知存在,使得

即,由条件(2)知,中存在向量,使得

$\boldsymbol{u}_{1}^{\prime}+\cdots+\boldsymbol{u}_{n}^{\prime}+\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}+\cdots +\boldsymbol{v}_{n-1}^{\prime}=\boldsymbol{0},\text{即}\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}+\cdots +\boldsymbol{v}_{n-1}^{\prime}=-\boldsymbol{s}.$

用上面类似的方法证明:不存在向量,但.因此.

综上,将导致,矛盾.所以,不存在符合条件的.

2022-01-03-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚最小数原理与无穷递降法 P016 例6）

设为给定的正整数,求最大的正整数,使得存在,满足

解

注意到,当时,取,就有(1)成立,所以.

另一方面,设是一个满足条件的正整数,我们设是所有满足(1)的正整数对中(这里视为常数),使得最小的那一对.

如果,那么.

如果,不妨设,这时关于的一元二次方程

还有一个实数解.

由韦达定理及(2)知,又,即,所以,为正整数.此时,也是满足(1)的正整数对,因此

这里用到的最小性.

于是,我们有.且.进而

这表明.

综上可知,的最大值为.

高中奥数 2022-01-03

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