2019-05-10 Seminar (Algebraic Bethe Ansatz II）

今天的Seminar，一半是还是用来复习了2周前讲的1/2 XXX spin chain 的例子，一是因为时间太久了，还有就是上次赶上放假有同学没来，再有就是因为有了自己一些新的理解，和之前的所学相互照应，融会贯通其乐无穷的感觉。

新的角度

我的一个物理的兴奋点就是能从新的角度看问题，比如把求解CFT的问题看做是一个operator algebra 分类的问题。对于ABA，我们也可以看成这样一种范式的转变。通常的情况，一个量子物理系统是由他的Hamiltonian来定义；而ABA的角度是 一个系统是由Lax operator来定义。这样来看，ABA并没有比Hamiltonian更抽象，Hamiltonian也没有比ABA更物理。另外的一种理解方式是，可以把这个范式的转变理解为一个变量代换：从spin chain 的local spin variables 到 non-local 的 monodromy or transfermatrix 的转变。ABA的一个思维突破难关是需要引入一个auxiliary（辅助）向量空间。既然是辅助空间，当然我们不需要给他赋予任何的物理意义，只是作为一种方面我们处理算符代数结构的一种工具。但这样就太数学化，少了点物理的乐趣。类似的auxiliary空间的例子超对称理论里面的超空间。超空间的引入就是为了给算符一个更直觉地分类，并且让算符之间的代数结构（超对称）更显而易见。这里的算符分类是遵循了Lorentz群的不可约表示。

这样我们就做一个类比。假设可积系统有一个对称性，对应了一个algebra A。然后algebra的结构可以很方便地定义在 A tensor A这个空间。每一个A tensor A 空间的一个元素R对应了一个可能的algebra，R需要满足的限制就是Yang-Baxter equation （Jacobian），也就是说algebra A是由 A tensor A 这个空间来分类，或者说 algebra A是由 Yang-Baxter equation 的解来分类。
algebra A可以有不同的不可约表示 k_i, 这些不可约表示就给出了R的一个表示 R_{ij}。而Lax operator正好看做是R 的某个不可约表示。这样辅助场就可以理解为label不同表示的坐标。

这样我们就把求解可积系统的问题转换到了一个代数分类的问题。

求解

上次讲到，有了transfermatrix之后，我们就可以定义一个reference state，利用transfermatrix的矩阵元构造其他的eigenstates。每一个eigenstate都对应了一个Bethe equation，所以最后我们就有了一个eigenstate 和 Bethe equation 的解（Bethe root）的一一对应，observables 也就是动量或者能量也都是root的一个函数。Bethe root会归类到不同的sector里面对应了不同的激发态。比如real 的root对应了magnon，complex的roots对应了不同的kinks。所以当我们找到所有的root后就能找到所有的物理态，还有他们的能量动量还有他们之间的散射振幅。