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代码随想录day41
343. 整数拆分
96.不同的二叉搜索树
看到这道题目,都会想拆成两个呢,还是三个呢,还是四个....。我们来看一下如何使用动规来解决
动规五部曲,分析如下:
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义:
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程,下面哪一步想不懂了,就想想dp[i]究竟表示的是啥!
2、确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),对这个拆分不理解的话,可以回想dp数组的定义。
那有同学问了,j怎么就不拆分呢?
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。
3、dp的初始化
不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?
有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!
4、确定遍历顺序:
确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。
枚举j的时候,是从1开始的。i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
所以遍历顺序为:
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
5、举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:
我的建议是这题可以结合其他的题解:
// 1. 确定dp数组以及下标含义
// 2. 确定递推公式
// 3. dp数组如何初始化
// 4. 确定遍历顺序
// 5. 打印dp看看有没有毛病
func integerBreak(n int) int {
dp := make([]int,n+1)
dp[2] = 1
for i:=3;i<=n;i++{
for j:=1;j b {
return a
}
return b
}
代码如下:
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
当然如果自己画图举例的话,基本举例到n为3就可以了,n为4的时候,画图已经比较麻烦了。
我这里列到了n为5的情况,是为了方便大家 debug代码的时候,把dp数组打出来,看看哪里有问题。
/*
dp[i] = i个不同的数组成的二叉搜索数的个数
假设 i = 5
当根节点等于 1 时 ,其余数字都比1大,只能在右边 dp[i] += dp[4]
当根节点等于 2 时,左边有一个1比2小,右边有三个比2大的数字 dp[i] += dp[1] * dp[3]
当根节点等于 3 时,左边有两个数比3小,右边有两个数比3大的数字 dp[i] += dp[2] * dp[2]
...
知道根节点等于5,左边有4个数字比5小,只能放在5的左边,dp[i] += dp[4]
*/
func numTrees(n int)int{
dp:=make([]int,n+1)
dp[0]=1
for i:=1;i<=n;i++{
for j:=1;j<=i;j++{
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]
}
}
return dp[n]
}
太难了。学不会啊。