Educoder离散数学实训【自然推理系统】答案

【使用说明】

1.本文主要供分享思路、答疑使用，请勿白一味嫖照搬。

2.本文95%以上为作者本人独立思考的过程，关闭编程平台右侧tab转换后，答案直接复制粘贴，将部分空格转化为tab即可过关。

3.允许转载，版权归作者所有。

4.题目来自离散数学教材6.1与6.2对应课后习题。

5.我会先在开篇梳理常见bug和问题，实在改不动再看下面答案。

【常见报错和问题】

首先明确格式要求：一定要严格按照教员给的格式写！！！

先关闭右侧的tab转换（默认打开），每一行的格式均为1.+tab+左条件（中间英文逗号隔开）+tab+|-+tab+右条件+tab+规则名字+空格+引用命题

对于ei和ae，还要写替换，在引用命题后加空格加（a/x），意思是用a换x（把x换为a）

其次来看几个易错点：

引用规则要看清楚，引用命题、替换变量都要写清楚。在输入格式对的情况下，如果引用错误会报给你，但是如果你写的规则拼错了就会报莫名其妙的错。

报错可能会有一些关于字符串处理的信息，可以针对性地根据报错的提示去找错的对应代码行。

nne规则很容易忽略，一定要注意。

左条件的顺序问题要严格与判定公式一致。顺序问题如果出错，要尝试更改。很遗憾，机械证明规则里没有左右条件内部交换律。

有的时候蕴含和等价需要额外打一层括号提示（尤其是计算机看不出来蕴含等价式的时候）。

规则记忆小技巧：

prem（前提）i是引入，e是消去，n（ot）and or impl equiv是前缀，a（ll）和e（xist）是量词简写。

【答案】

前面的题属于基本难度，故不做太多讲解。

关卡1

Premise:

Conclusion: (A->(B->C))<->(B->(A->C))

1.  (A->(B->C)),A,B |-  A   prem

2.  (A->(B->C)),A,B |-  A->(B->C)   prem

3.  (A->(B->C)),A,B |-  B->C    imple 1,2

4.  (A->(B->C)),A,B |-  B   prem

5.  (A->(B->C)),B,A |-  C   imple 3,4

6.  (A->(B->C)),B   |-  A->C    impli 5

7.  A->(B->C)   |-  B->(A->C)   impli 6

8.  (B->(A->C)),A,B |-  B   prem

9.  (B->(A->C)),A,B |-  B->(A->C)   prem

10. (B->(A->C)),A,B |-  A->C    imple 8,9

11. (B->(A->C)),A,B |-  A   prem

12. (B->(A->C)),A,B |-  C   imple 10,11

13. (B->(A->C)),A   |-  B->C    impli 12

14. B->(A->C)   |-  A->(B->C)   impli 13

15. |-  (A->(B->C))<->(B->(A->C))   equivi 7,14

关卡2

Premise: (A\/B)\/C

Conclusion: A\/(B\/C)

1.  C   |-  C   prem

2.  C   |-  B\/C    ori 1

3.  C   |-  A\/(B\/C)   ori 2

4.  A   |-  A   prem

5.  A   |-  A\/(B\/C)   ori 4

6.  B   |-  B   prem

7.  B   |-  B\/C    ori 6

8.  B   |-  A\/(B\/C)   ori 7

9.  A\/B    |-  A\/(B\/C)   ore 5,8

10. (A\/B)\/C   |-  A\/(B\/C)   ore 3,9

关卡3

Premise: A\/(B\/C)

Conclusion: (A\/B)\/C

1.  B   |-  B   prem

2.  B   |-  A\/B    ori 1

3.  C   |-  C   prem

4.  C   |-  (A\/B)\/C   ori 3

5.  B   |-  (A\/B)\/C   ori 2

6.  B\/C    |-  (A\/B)\/C   ore 4,5

7.  A   |-  A   prem

8.  A   |-  A\/B    ori 7

9.  A   |-  (A\/B)\/C   ori 8

10. A\/(B\/C)   |-  (A\/B)\/C   ore 6,9

关卡4

Premise:

Conclusion: (A->B)<->(~B -> ~A)

1.  A->B,~B,A   |-  ~B  prem

2.  A->B,~B,A   |-  A   prem

3.  A->B,~B,A   |-  A->B    prem

4.  A->B,~B,A   |-  B   imple 2,3

5.  A->B,~B |-  ~A  ni 1,4

6.  A->B    |-  ~B->~A  impli 5

7.  ~B->~A,A,~B |-  A   prem

8.  ~B->~A,A,~B |-  ~B  prem

9.  ~B->~A,A,~B |-  ~B->~A  prem

10. ~B->~A,A,~B |-  ~A  imple 8,9

11. ~B->~A,A    |-  ~(~B)   ni 7,10

12. ~B->~A,A    |-  B   nne 11

13. ~B->~A  |-  A->B    impli 12

14. |-  (A->B)<->(~B->~A)   equivi 6,13

关卡5

Premise: A/\~A

Conclusion: F

1.  A/\~A   |-  A/\~A   prem    

2.  A/\~A   |-  A   ande 1

3.  A/\~A   |-  ~A  ande 1

4.  A/\~A   |-  F   ne 2,3

关卡6

Premise: F

Conclusion: A/\~A

1.  F,A |-  F   prem

2.  F,A |-  ~F  fi

3.  F   |-  ~A  ni 1,2

4.  F,~A    |-  F   prem

5.  F,~A    |-  ~F  fi

6.  F   |-  ~(~A)   ni 4,5

7.  F   |-  A   nne 6

8.  F   |-  A/\~A   andi 3,7

关卡7

Premise: A->(B->C)

Conclusion: A/\B->C

1.  A->(B->C),A/\B  |-  A/\B    prem

2.  A->(B->C),A/\B  |-  A   ande 1

3.  A->(B->C),A/\B  |-  B   ande 1

4.  A->(B->C),A/\B  |-  A->(B->C)   prem

5.  A->(B->C),A/\B  |-  B->C    imple 2,4

6.  A->(B->C),A/\B  |-  C   imple 3,5

7.  A->(B->C)   |-  A/\B->C impli 6

关卡8

Premise: A/\B->C

Conclusion: A->(B->C)

1.  A/\B->C,A,B |-  A   prem

2.  A/\B->C,A,B |-  B   prem

3.  A/\B->C,A,B |-  A/\B->C prem

4.  A/\B->C,A,B |-  A/\B    andi 1,2

5.  A/\B->C,A,B |-  C   imple 3,4

6.  A/\B->C,A   |-  B->C    impli 5

7.  A/\B->C |-  A->(B->C)   impli 6

关卡9

Premise:(All x)P(x)

Conclusion:(Exist x)P(x)

1.  P(x)    |-  P(x)    prem

2.  (All x)P(x) |-  P(x)    lai 1

3.  (All x)P(x) |-  (Exist x)P(x)   ei 2 (x/x)

关卡10

Premise: (Exist x)(All y)P(x,y)

Conclusion: (All y)(Exist x)P(x,y)

1.  P(x,y)  |-  P(x,y)  prem

2.  (All y)P(x,y)   |-  P(x,y)  lai 1

3.  (All y)P(x,y)   |-  (Exist x)P(x,y) ei 2 (x/x)

4.  (All y)P(x,y)   |-  (All y)(Exist x)P(x,y)  ai 3

5.  (Exist x)(All y)P(x,y)  |-  (All y)(Exist x)P(x,y)  lei 4

关卡11

Premise: (All x)P(x)\/(All x)Q(x)

Conclusion: (All x)(P(x)\/Q(x))

1.  (All x)P(x) |-  (All x)P(x) prem

2.  (All x)P(x) |-  P(x)    ae 1 (x/x)

3.  (All x)P(x) |-  P(x)\/Q(x)  ori 2

4.  (All x)Q(x) |-  (All x)Q(x) prem

5.  (All x)Q(x) |-  Q(x)    ae 4 (x/x)

6.  (All x)Q(x) |-  P(x)\/Q(x)  ori 5

7.  (All x)P(x)\/(All x)Q(x)    |-  P(x)\/Q(x)  ore 3,6

8.  (All x)P(x)\/(All x)Q(x)    |-  (All x)(P(x)\/Q(x)) ai 7

关卡12

Premise: (All x)(A->P(x))

Conclusion: A->(All x)P(x)

1.  (All x)(A->P(x)),A  |-  A   prem

2.  (All x)(A->P(x)),A  |-  (All x)(A->P(x))    prem

3.  (All x)(A->P(x)),A  |-  A->P(x) ae 2 (x/x)

4.  (All x)(A->P(x)),A  |-  P(x)    imple 1,3

5.  (All x)(A->P(x)),A  |-  (All x)P(x) ai 4

6.  (All x)(A->P(x))    |-  A->(All x)P(x)  impli 5

关卡13

Premise: A->(All x)P(x)

Conclusion: (All x)(A->P(x))

1.  A->(All x)P(x),A    |-  A   prem

2.  A->(All x)P(x),A    |-  A->(All x)P(x)  prem

3.  A->(All x)P(x),A    |-  (All x)P(x) imple 1,2

4.  A->(All x)P(x),A    |-  P(x)    ae 3 (x/x)

5.  A->(All x)P(x)  |-  A->P(x) impli 4

6.  A->(All x)P(x)  |-  (All x)(A->P(x))    ai 5

关卡14

Premise: (Exist x)(P(x)\/Q(x))

Conclusion: (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)

1.  P(x)    |-  P(x)    prem

2.  P(x)    |-  (Exist x)P(x)   ei 1 (x/x)

3.  P(x)    |-  (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)    ori 2

4.  Q(x)    |-  Q(x)    prem

5.  Q(x)    |-  (Exist x)Q(x)   ei 4 (x/x)

6.  Q(x)    |-  (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)    ori 5

7.  P(x)\/Q(x)  |-  (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)    ore 3,6

8.  (Exist x)(P(x)\/Q(x))   |-  (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)    lei 7

关卡15

Premise: (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)

Conclusion: (Exist x)(P(x)\/Q(x))

1.  P(x)    |-  P(x)    prem

2.  P(x)    |-  P(x)\/Q(x)  ori 1

3.  P(x)    |-  (Exist x)(P(x)\/Q(x))   ei 2 (x/x)

4.  (Exist x)P(x)   |-  (Exist x)(P(x)\/Q(x))   lei 3

5.  Q(x)    |-  Q(x)    prem

6.  Q(x)    |-  P(x)\/Q(x)  ori 5

7.  Q(x)    |-  (Exist x)(P(x)\/Q(x))   ei 6 (x/x)

8.  (Exist x)Q(x)   |-  (Exist x)(P(x)\/Q(x))   lei 7

9.  (Exist x)P(x)\/(Exist x)Q(x)    |-  (Exist x)(P(x)\/Q(x))   ore 4,8

关卡16

Premise: (All x)(P(x)/\Q(x))

Conclusion: (All x)P(x)/\(All x)Q(x)

1.  P(x)/\Q(x)  |-  P(x)/\Q(x)  prem

2.  P(x)/\Q(x)  |-  P(x)    ande 1

3.  P(x)/\Q(x)  |-  Q(x)    ande 1

4.  (All x)(P(x)/\Q(x)) |-  P(x)    lai 2

5.  (All x)(P(x)/\Q(x)) |-  Q(x)    lai 3

6.  (All x)(P(x)/\Q(x)) |-  (All x)P(x) ai 4

7.  (All x)(P(x)/\Q(x)) |-  (All x)Q(x) ai 5

8.  (All x)(P(x)/\Q(x)) |-  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    andi 6,7

关卡17

Premise: (All x)P(x)/\(All x)Q(x)

Conclusion: (All x)(P(x)/\Q(x))

1.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    prem

2.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  (All x)P(x) ande 1

3.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  (All x)Q(x) ande 1

4.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  P(x)    ae 2 (x/x)

5.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  Q(x)    ae 3 (x/x)

6.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  P(x)/\Q(x)  andi 4,5

7.  (All x)P(x)/\(All x)Q(x)    |-  (All x)(P(x)/\Q(x)) ai 6

关卡18

Premise: (Exist x)P(x)->(All x)Q(x)

Conclusion: (All x)(P(x)->Q(x))

1.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x),P(x) |-  P(x)    prem    

2.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x),P(x) |-  (Exist x)P(x)   ei 1 (x/x)

3.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x),P(x) |-  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x)  prem

4.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x),P(x) |-  (All x)Q(x) imple 2,3

5.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x),P(x) |-  Q(x)    ae 4 (x/x)

6.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x)  |-  P(x)->Q(x)  impli 5

7.  (Exist x)P(x)->(All x)Q(x)  |-  (All x)(P(x)->Q(x)) ai 6

关卡19

Premise: (All x)(P(x)->Q(x))

Conclusion: (All x)P(x)->(All x)Q(x)

1.  (All x)(P(x)->Q(x)),(All x)P(x) |-  (All x)P(x) prem

2.  (All x)(P(x)->Q(x)),(All x)P(x) |-  (All x)(P(x)->Q(x)) prem

3.  (All x)(P(x)->Q(x)),(All x)P(x) |-  P(x)->Q(x)  ae 2 (x/x)

4.  (All x)(P(x)->Q(x)),(All x)P(x) |-  P(x)    ae 1 (x/x)

5.  (All x)(P(x)->Q(x)),(All x)P(x) |-  Q(x)    imple 3,4

6.  (All x)(P(x)->Q(x)),(All x)P(x) |-  (All x)Q(x) ai 5

7.  (All x)(P(x)->Q(x)) |-  (All x)P(x)->(All x)Q(x)    impli 6

关卡20

本关难度较大，主要难在要把给的那个命题抽象成变元表达的命题。。。不过考试的时候大概不会有这种难度了。如果在解题的时候感觉眼花缭乱，可以使用一些符号去整体代替公式，但是在落到计算机中还是要严格按照格式来写。

Premise: (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y)

Conclusion: (All x)R(x,x)

1.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y) |-  (All x)(Exist y)R(x,y)  prem

2.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y) |-  (Exist y)R(x,y) ae 1 (x/x)

3.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  R(x,a)  prem

4.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x))  prem

5.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  (All y)(R(x,y)->R(y,x)) ae 4 (x/x)

6.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  R(x,a)->R(a,x)  ae 5 (a/y)

7.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  R(a,x)  imple 3,6

8.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  (All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z))   prem

9.  (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  (All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z))  ae 8 (x/x)

10. (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  (All z)(R(x,a)/\R(a,z)->R(x,z)) ae 9 (a/y)

11. (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  R(x,a)/\R(a,x)->R(x,x)  ae 10 (x/z)

12. (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  R(x,a)/\R(a,x)  andi 3,7

13. (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y),R(x,a)  |-  R(x,x)  imple 11,12

14. (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y) |-  R(x,x)  ee 2,13

15. (All x)(All y)(R(x,y)->R(y,x)),(All x)(All y)(All z)(R(x,y)/\R(y,z)->R(x,z)),(All x)(Exist y)R(x,y) |-  (All x)R(x,x)   ai 14   

关卡21

从这个题开始，难度断崖式上升。需要熟练掌握以下技能：1.矛盾的设计 2.前提的合理引入和消去 3.一定程度的导出规则（我只有在23,31两个题写了dr导出，别的全是基本规则，但是你们在做的时候可以灵活使用导出规则。dr决定了下限，不用dr锻炼上限）这三个技能我可能说的有点云淡风轻，只有做进去才会深有体会。

Premise: 

Conclusion: ~(A/\B)<->(~A\/~B)

1.  ~(A/\B),A,B |-  A   prem

2.  ~(A/\B),A,B |-  B   prem

3.  ~(A/\B),A,B |-  A/\B    andi 1,2

4.  ~(A/\B),A,B |-  ~(A/\B) prem

5.  ~(A/\B),A   |-  ~B  ni 3,4

6.  ~(A/\B),A   |-  ~A\/~B  ori 5

7.  ~(A/\B),~A  |-  ~A  prem

8.  ~(A/\B),~A  |-  ~A\/~B  ori 7

9.  ~(A/\B) |-  ~A\/~B  preme 6,8

10. A/\B,~A |-  ~A  prem

11. A/\B,~A |-  A/\B    prem

12. A/\B,~A |-  A   ande 11

13. A/\B,~A |-  F   ne 10,12

14. A/\B,~B |-  ~B  prem

15. A/\B,~B |-  A/\B    prem

16. A/\B,~B |-  B   ande 15

17. A/\B,~B |-  F   ne 14,16

18. A/\B,~A\/~B |-  F   ore 13,17

19. A/\B,~A\/~B |-  ~F  fi

20. A/\B    |-  ~(~A\/~B)   ni 18,19

21. ~A\/~B,A/\B |-  ~(~A\/~B)   premi 20

22. ~A\/~B,A/\B |-  ~A\/~B  prem

23. ~A\/~B  |-  ~(A/\B) ni 21,22

24. |-  ~(A/\B)<->(~A\/~B)  equivi 9,23

关卡22

难度巨大，主要是前提引入。请认真体会前提引入的美妙性和其中构造的巧合。

Premise: 

Conclusion: A/\(B\/C)<->(A/\B)\/(A/\C)

1.  A/\B    |-  A/\B    prem

2.  A/\B    |-  A   ande 1

3.  A/\B    |-  B   ande 1

4.  A/\B    |-  B\/C    ori 3

5.  A/\B    |-  A/\(B\/C)   andi 2,4

6.  A/\C    |-  A/\C    prem

7.  A/\C    |-  A   ande 6

8.  A/\C    |-  C   ande 6

9.  A/\C    |-  B\/C    ori 8

10. A/\C    |-  A/\(B\/C)   andi 7,9

11. (A/\B)\/(A/\C)  |-  A/\(B\/C)   ore 5,10

12. A/\(B\/C)   |-  A/\(B\/C)   prem

13. A/\(B\/C)   |-  A   ande 12

14. A/\(B\/C)   |-  B\/C    ande 12

15. A/\(B\/C),B |-  A   premi 13

16. A/\(B\/C),B |-  B   prem

17. A/\(B\/C),B |-  A/\B    andi 15,16

18. A/\(B\/C),B |-  (A/\B)\/(A/\C)  ori 17

19. A/\(B\/C),C |-  A   premi 13

20. A/\(B\/C),C |-  C   prem

21. A/\(B\/C),C |-  A/\C    andi 19,20

22. A/\(B\/C),C |-  (A/\B)\/(A/\C)  ori 21

23. A/\(B\/C),B\/C  |-  (A/\B)\/(A/\C)  ore 18,22

24. A/\(B\/C)   |-  (B\/C)->((A/\B)\/(A/\C))    impli 23

25. A/\(B\/C)   |-  (A/\B)\/(A/\C)  imple 14,24

26. |-  A/\(B\/C)<->(A/\B)\/(A/\C)  equivi 11,25

关卡23

一直卡到我最后的一道题...我没有输给题，只是输给了dr（这个过程有的地方不够严谨！如果只是意会，看这个过程就ok了，但是有改进空间的）。

Premise: 

Conclusion: A\/(B/\C)<->(A\/B)/\(A\/C)

1.  A   |-  A   prem

2.  A   |-  A\/B    ori 1

3.  A   |-  A\/C    ori 1

4.  A   |-  (A\/B)/\(A\/C)  andi 2,3

5.  B/\C    |-  B/\C    prem

6.  B/\C    |-  B   ande 5

7.  B/\C    |-  A\/B    ori 6

8.  B/\C    |-  C   ande 5

9.  B/\C    |-  A\/C    ori 8

10. B/\C    |-  (A\/B)/\(A\/C)  andi 7,9

11. A\/(B/\C)   |-  (A\/B)/\(A\/C)  ore 4,10

12. (A\/B)/\(A\/C),A    |-  A   prem

13. (A\/B)/\(A\/C),A    |-  A\/(B/\C)   ori 12

14. (A\/B)/\(A\/C),~A,~B    |-  (A\/B)/\(A\/C)  prem

15. (A\/B)/\(A\/C),~A,~B    |-  A\/B    ande 14

16. (A\/B)/\(A\/C),~A,~B    |-  ~(A\/B) dr

17. (A\/B)/\(A\/C),~A   |-  ~(~B)   ni 15,16

18. (A\/B)/\(A\/C),~A   |-  B   nne 17

19. (A\/B)/\(A\/C),~A,~C    |-  (A\/B)/\(A\/C)  prem

20. (A\/B)/\(A\/C),~A,~C    |-  A\/C    ande 19

21. (A\/B)/\(A\/C),~A,~C    |-  ~(A\/C) dr

22. (A\/B)/\(A\/C),~A   |-  ~(~C)   ni 20,21

23. (A\/B)/\(A\/C),~A   |-  C   nne 22

24. (A\/B)/\(A\/C),~A   |-  B/\C    andi 18,23

25. (A\/B)/\(A\/C),~A   |-  A\/(B/\C)   ori 24

26. (A\/B)/\(A\/C)  |-  A\/(B/\C)   preme 13,25

27. |-  A\/(B/\C)<->(A\/B)/\(A\/C)  equivi 11,26

关卡24

优雅简洁的一道题，考验你的脑筋转动速度。

Premise: 

Conclusion: A\/F<->A

1.  A   |-  A   prem

2.  A   |-  A\/F    ori 1

3.  F,~A    |-  F   prem

4.  F,~A    |-  ~F  fi

5.  F   |-  ~(~A)   ni 3,4

6.  F   |-  A   nne 5

7.  A\/F    |-  A   ore 1,6

8.  |-  A\/F<->A    equivi 2,7

关卡25

如果你过了上一关，你应该会这一关了。

Premise: 

Conclusion: A/\T<->A

1.  A/\T,~A |-  ~A  prem

2.  A/\T,~A |-  A/\T    prem

3.  A/\T,~A |-  A   ande 2

4.  A/\T    |-  ~(~A)   ni 1,3

5.  A/\T    |-  A   nne 4

6.  A   |-  A   prem

7.  A   |-  T   ti

8.  A   |-  A/\T    andi 6,7

9.  |-  A/\T<->A    equivi 5,8

关卡26

好像比刚才几个简单一点...?

Premise: 

Conclusion: (A->B)<->~A\/B

1.  A->B,A,~B   |-  A   prem

2.  A->B,A,~B   |-  A->B    prem

3.  A->B,A,~B   |-  B   imple 1,2

4.  A->B,A,~B   |-  ~B  prem

5.  A->B,A  |-  ~(~B)   ni 3,4

6.  A->B,A  |-  B   nne 5

7.  A->B,A  |-  ~A\/B   ori 6

8.  A->B,~A |-  ~A  prem

9.  A->B,~A |-  ~A\/B   ori 8

10. A->B    |-  ~A\/B   preme 7,9

11. ~A,A    |-  A   prem

12. ~A,A    |-  ~A  prem

13. ~A,A    |-  B   ne 11,12

14. ~A  |-  A->B    impli 13

15. B,A |-  B   prem

16. B   |-  A->B    impli 15

17. ~A\/B   |-  A->B    ore 14,16

18. |-  (A->B)<->~A\/B  equivi 10,17

关卡27

引入一个前提不够？那就引入两个。

Premise: ~(A->B)

Conclusion: A

1.  ~(A->B),~A,A    |-  A   prem

2.  ~(A->B),~A,A    |-  ~A  prem

3.  ~(A->B),~A,A    |-  B   ne 1,2

4.  ~(A->B),~A  |-  A->B    impli 3

5.  ~(A->B),~A  |-  ~(A->B) prem

6.  ~(A->B) |-  ~(~A)   ni 4,5

7.  ~(A->B) |-  A   nne 6

关卡28

Premise: ~(A->B)

Conclusion: ~B

1.  ~(A->B),B,A |-  B   prem

2.  ~(A->B),B   |-  A->B    impli 1

3.  ~(A->B),B   |-  ~(A->B) prem

4.  ~(A->B) |-  ~B  ni 2,3

关卡29

你将见识到我的全部实力：56行无导出。其实有很多多余行是重复步骤和我对导出规则的证明，但是看在我严谨的逻辑和细致的debug上，我觉得这道题值得一个点赞。

Premise: 

Conclusion: ((Exist x)(C->P(x)))<->(C->(Exist x)P(x))

1.  C->P(x),C   |-  C   prem

2.  C->P(x),C   |-  C->P(x) prem

3.  C->P(x),C   |-  P(x)    imple 1,2

4.  C->P(x),C   |-  (Exist x)P(x)   ei 3 (x/x)

5.  C->P(x) |-  C->(Exist x)P(x)    impli 4

6.  (Exist x)(C->P(x))  |-  C->(Exist x)P(x)    lei 5

7.  ~(Exist x)(C->P(x)),C->P(x) |-  C->P(x) prem

8.  ~(Exist x)(C->P(x)),C->P(x) |-  (Exist x)(C->P(x))  ei 7 (x/x)

9.  ~(Exist x)(C->P(x)),C->P(x) |-  ~(Exist x)(C->P(x)) prem

10. ~(Exist x)(C->P(x)) |-  ~(C->P(x))  ni 8,9

11. ~(Exist x)(C->P(x)) |-  (All x)(~(C->P(x))) ai 10

12. |-  (~(Exist x)(C->P(x)))->((All x)(~(C->P(x))))    impli 11

13. C->(Exist x)P(x)    |-  (~(Exist x)(C->P(x)))->((All x)(~(C->P(x))))    premi 12

14. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  (~(Exist x)(C->P(x)))->((All x)(~(C->P(x))))    premi 13

15. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ~(Exist x)(C->P(x)) prem

16. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  (All x)(~(C->P(x))) imple 14,15

17. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ~(C->P(x))  ae 16 (x/x)

18. ~(C->P(x)),~C,C |-  C   prem

19. ~(C->P(x)),~C,C |-  ~C  prem

20. ~(C->P(x)),~C,C |-  P(x)    ne 18,19

21. ~(C->P(x)),~C   |-  C->P(x) impli 20

22. ~(C->P(x)),~C   |-  ~(C->P(x))  prem

23. ~(C->P(x))  |-  ~(~C)   ni 21,22

24. ~(C->P(x))  |-  C   nne 23

25. ~(C->P(x)),P(x),C   |-  P(x)    prem

26. ~(C->P(x)),P(x) |-  C->P(x) impli 25

27. ~(C->P(x)),P(x) |-  ~(C->P(x))  prem

28. ~(C->P(x))  |-  ~P(x)   ni 26,27

29. |-  ~(C->P(x))->C   impli 24

30. C->(Exist x)P(x)    |-  ~(C->P(x))->C   premi 29

31. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ~(C->P(x))->C   premi 30

32. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  C   imple 17,31

33. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  C->(Exist x)P(x)    prem

34. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  (Exist x)P(x)   imple 33,32

35. |-  ~(C->P(x))->~P(x)   impli 28

36. C->(Exist x)P(x)    |-  ~(C->P(x))->~P(x)   premi 35

37. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ~(C->P(x))->~P(x)   premi 36

38. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ~P(x)   imple 17,37

39. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  (All x)(~P(x))  ai 38

40. ~P(x),P(x)  |-  ~P(x)   prem

41. ~P(x),P(x)  |-  P(x)    prem

42. ~P(x),P(x)  |-  ~(Exist x)P(x)  ne 40,41

43. (All x)(~P(x)),P(x) |-  (All x)(~P(x))  prem

44. (All x)(~P(x)),P(x) |-  P(x)    prem

45. (All x)(~P(x)),P(x) |-  ~P(x)   ae 43 (x/x)

46. (All x)(~P(x)),P(x) |-  ~(Exist x)P(x)  ne 44,45

47. (All x)(~P(x)),(Exist x)P(x)    |-  ~(Exist x)P(x)  lei 46

48. (All x)(~P(x)),(Exist x)P(x)    |-  (Exist x)P(x)   prem

49. (All x)(~P(x))  |-  ~(Exist x)P(x)  ni 47,48

50. |-  ((All x)(~P(x)))->((~(Exist x)P(x)))    impli 49

51. C->(Exist x)P(x)    |-  ((All x)(~P(x)))->((~(Exist x)P(x)))    premi 50

52. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ((All x)(~P(x)))->((~(Exist x)P(x)))    premi 51

53. C->(Exist x)P(x),~(Exist x)(C->P(x))    |-  ~(Exist x)P(x)  imple 39,52

54. C->(Exist x)P(x)    |-  ~(~(Exist x)(C->P(x)))  ni 34,53

55. C->(Exist x)P(x)    |-  (Exist x)(C->P(x))  nne 54

56. |-  ((Exist x)(C->P(x)))<->(C->(Exist x)P(x))   equivi 6,55

关卡30

Premise: (Exist x)(P(x)->C)

Conclusion: (All x)P(x)->C

1.  P(x)->C,P(x)    |-  P(x)->C prem    

2.  P(x)->C,P(x)    |-  P(x)    prem

3.  P(x)->C,P(x)    |-  C   imple 1,2

4.  P(x)->C,(All x)P(x) |-  C   lai 3

5.  P(x)->C |-  (All x)P(x)->C  impli 4

6.  (Exist x)(P(x)->C)  |-  (All x)P(x)->C  lei 5

关卡31

这个题不用导出其实是无解的：它的逻辑很别扭。被迫用dr过关...

Premise: (All x)P(x)->C

Conclusion: (Exist x)(P(x)->C)

1.  (All x)P(x)->C  |-  (All x)P(x)->C  prem

2.  (All x)P(x)->C  |-  P(t)->C dr

3.  (All x)P(x)->C  |-  (Exist x)(P(x)->C)  ei 2 (t/x)

关卡32

从这往后其实都不算那么难了。

Premise: (Exist x)(P(x)\/C)

Conclusion: (Exist x)P(x)\/C

1.  P(x)    |-  P(x)    prem

2.  P(x)    |-  (Exist x)P(x)   ei 1 (x/x)

3.  P(x)    |-  (Exist x)P(x)\/C    ori 2

4.  C   |-  C   prem

5.  C   |-  (Exist x)P(x)\/C    ori 4

6.  P(x)\/C |-  (Exist x)P(x)\/C    ore 3,5

7.  (Exist x)(P(x)\/C)  |-  (Exist x)P(x)\/C    lei 6

关卡33

Premise: (Exist x)P(x)\/C

Conclusion: (Exist x)(P(x)\/C)

1.  P(x)    |-  P(x)    prem

2.  P(x)    |-  P(x)\/C ori 1

3.  P(x)    |-  (Exist x)(P(x)\/C)  ei 2 (x/x)

4.  (Exist x)P(x)   |-  (Exist x)(P(x)\/C)  lei 3

5.  C   |-  C   prem

6.  C   |-  P(x)\/C ori 5

7.  C   |-  (Exist x)(P(x)\/C)  ei 6 (x/x)

8.  (Exist x)P(x)\/C    |-  (Exist x)(P(x)\/C)  ore 4,7

关卡34

Premise: (All x)(P(x)/\C)

Conclusion: (All x)P(x)/\C

1.  P(x)/\C |-  P(x)/\C prem

2.  P(x)/\C |-  P(x)    ande 1

3.  P(x)/\C |-  C   ande 1

4.  (All x)(P(x)/\C)    |-  P(x)    lai 2

5.  (All x)(P(x)/\C)    |-  C   lai 3

6.  (All x)(P(x)/\C)    |-  (All x)P(x) ai 4

7.  (All x)(P(x)/\C)    |-  (All x)P(x)/\C  andi 5,6

关卡35

Premise: (All x)P(x)/\C

Conclusion: (All x)(P(x)/\C)

1.  (All x)P(x)/\C  |-  (All x)P(x)/\C  prem

2.  (All x)P(x)/\C  |-  (All x)P(x) ande 1

3.  (All x)P(x)/\C  |-  C   ande 1

4.  (All x)P(x)/\C  |-  P(x)    ae 2 (x/x)

5.  (All x)P(x)/\C  |-  P(x)/\C andi 4,3

6.  (All x)P(x)/\C  |-  (All x)(P(x)/\C)    ai 5

关卡36

Premise: ~(All x)P(x)

Conclusion: (Exist x)(~P(x))

1.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x)),~P(x)    |-  ~P(x)   prem

2.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x)),~P(x)    |-  (Exist x)(~P(x))    ei 1 (x/x)

3.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x)),~P(x)    |-  ~(Exist x)(~P(x))   prem

4.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x))  |-  ~(~P(x))    ni 2,3

5.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x))  |-  P(x)    nne 4

6.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x))  |-  (All x)P(x) ai 5

7.  ~(All x)P(x),~(Exist x)(~P(x))  |-  ~(All x)P(x)    prem

8.  ~(All x)P(x)    |-  ~(~(Exist x)(~P(x)))    ni 6,7

9.  ~(All x)P(x)    |-  (Exist x)(~P(x))    nne 8

关卡37

Premise: (Exist x)(~P(x))

Conclusion: ~(All x)P(x)

1.  ~P(x),(All x)P(x)   |-  (All x)P(x) prem

2.  ~P(x),(All x)P(x)   |-  P(x)    ae 1 (x/x)

3.  ~P(x),(All x)P(x)   |-  ~P(x)   prem

4.  ~P(x),(All x)P(x)   |-  F   ne 2,3

5.  ~P(x),(All x)P(x)   |-  ~F  fi

6.  ~P(x)   |-  ~(All x)P(x)    ni 4,5

7.  (Exist x)(~P(x))    |-  ~(All x)P(x)    lei 6

关卡38

Premise: (Exist x)(P(x)/\Q(x))

Conclusion: (Exist x)P(x)/\(Exist x)Q(x)

1.  P(x)/\Q(x)  |-  P(x)/\Q(x)  prem

2.  P(x)/\Q(x)  |-  P(x)    ande 1

3.  P(x)/\Q(x)  |-  Q(x)    ande 1

4.  P(x)/\Q(x)  |-  (Exist x)P(x)   ei 2 (x/x)

5.  P(x)/\Q(x)  |-  (Exist x)Q(x)   ei 3 (x/x)

6.  P(x)/\Q(x)  |-  (Exist x)P(x)/\(Exist x)Q(x)    andi 4,5

7.  (Exist x)(P(x)/\Q(x))   |-  (Exist x)P(x)/\(Exist x)Q(x)    lei 6

感谢您的阅读~都看到这里了，至少点个赞再走吧？