2022蓝桥杯省赛——卡片

问题描述

小蓝有 k 种卡片, 一个班有 n 位同学, 小蓝给每位同学发了两张卡片, 一位同学的两张卡片可能是同一种, 也可能是不同种, 两张卡片没有顺序。没有两位同学的卡片都是一样的。

给定 n, 请问小蓝的卡片至少有多少种?

输入格式

输入一行包含一个正整数表示 n 。

输出格式

输出一行包含一个整数, 表示答案。

样例输入

6

样例输出

3

样例说明

小朋友们手中的卡片可能是: (1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3) 。

评测用例规模与约定

对于 50% 的评测用例, 1≤n≤10^4 。

对于所有评测用例, 1≤n≤10^9 。

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

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问题分析

这是一个组合数问题，需要注意的有两点：

1. 两张同样的卡片也可以作为一种组合，所以跳出循环的条件是 c(k,2)+k>=n 。根据组合数的公式很容易用代码实现。
2. 计算组合数的复杂度主要集中在求解阶乘的过程中。考虑到 n 的最大值为10^9，需要使用记忆化数组来缩短计算时间。在这类比赛中，程序处理千万级的运算量时已经很勉强了，所以我在这里将记忆化数组的长度设为10^7，即一千万。

 

 Python代码如下：

n=int(input())
dp=[-1 for i in range(10**7)]  # 阶乘数的记忆化数组

# 阶乘
def fact(X):
    ans=1  # 阶乘结果
    x=X
    while x>1:
        if dp[x]!=-1:  # 已知x的阶乘
            ans*=dp[x]
            dp[X]=ans
            return ans
        else:
            ans*=x
            x-=1
    dp[X]=ans
    return ans

# 组合数
def c(n,m):
    return fact(n)/(fact(m)*fact(n-m))

k=0
while c(k,2)+k

可惜的是，由于无法将记忆化数组的长度设为10^9，通过率只有80%。读者如发现不足之处，欢迎批评指正。