【数据结构入门】树、二叉树（Binary tree）

一、树的概念和结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成 M (M>0) 个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti (1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

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1.2 树的结构 & 相关名词解释

树中的一些名词解释：

• 节点的度：一个节点的子树 (子节点) 个数称为该节点的度； 如上图：A的度为3
• 叶节点 (终端节点)：度为0的节点称为叶节点； 如上图：J、F、K、L、H、I 节点为叶节点
• 非终端节点 (分支节点)：度不为0的节点； 如上图：B、C、D、E、G 节点为分支节点
• 双亲节点 (父节点)：若一个节点有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点 (子节点)：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C、D是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度 (深度)：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4，空树的高度是0，只有根节点的树高度为1
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：F、G互为堂兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先，K的祖先是A、C、G
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由 m (m>0) 棵互不相交的树的集合称为森林（并查集就是一个森林）

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1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

定义树的结构，首先需要说明树的度是多少，否则很难去定义。

struct TreeNode
{
    int data; // 数据域
	struct TreeNode* subs[3]; // 此树的度为3
};

如果没有说明树的度是多少，还可以用顺序表去存储。

struct TreeNode
{
    int data; // 数据域
    SeqList subs; // 顺序表中存储的是树节点指针
    // C++可以这样写：vector subs;
};

再介绍一种双亲表示法，树的结构中，往下走，孩子节点可能有很多，但往上走，每个节点的双亲结点只有一个。

struct TreeNode
{
    int data; // 数据域
    struct TreeNode* parent; // 记录该节点的双亲结点
};

上述方法都不是很实用，最实用的表示方法是孩子兄弟表示法。左孩子右兄弟。

typedef int DataType;
struct Node
{
    DataType _data;             // 结点中的数据域
	struct Node* _firstChild;   // 指向第一个孩子结点（即最左边的孩子节点）
	struct Node* _pNextBrother; // 指向右边的第一个兄弟结点
};

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1.4 树的应用

表示文件系统的目录树结构

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二、二叉树的概念 & 存储结构（重要）

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成，或者为空

观察上图，二叉树的特点：

1. 二叉树不存在度大于2的结点 (每个节点最多有两个孩子)。
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

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2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^k - 1 ( 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2^k-1 )，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：

   • 完全二叉树是效率很高的数据结构。

   • 一个深度为 K 的有 n 个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。注：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

   • 前 k 层都是满的，最后一层不一定满，但最后一层从左到右必须是连续的。

   • 深度为 k 的完全二叉树的节点个数最多为 2^k - 1，最少为 2^k-1 - 1 + 1（前k层节点个数总和+1，因为第k层至少有一个），所以节点个数范围是：[ 2^k-1, 2^k - 1 ]

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2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^i-1 个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则**高度(深度)为 h 的二叉树的「最大结点数」**是 2^h - 1。
3. 对任何一棵二叉树，如果度为 0 的叶结点个数为 n₀，度为 2 的分支结点个数为 n₂，则有 n₀＝n₂ ＋1（度为 0 的节点 比 度为 2 的节点 多一个）
4. 若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的「满二叉树」的高度(深度) h = log₂(n+1)。 (log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
   1. 若 i > 0，i 位置节点的双亲序号：(i - 1) / 2；i=0，i 为根节点编号，无双亲节点
   2. 若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n否则无左孩子
   3. 若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n否则无右孩子

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2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构来存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

   顺序存储就是使用数组来存储，而「数组」一般只适合表示「满二叉树」或「完全二叉树」，因为不是完全二叉树会有「空间的浪费」。在实际使用中，只有「堆」才会使用数组来存储。二叉树的顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

   在数组中用下标来表示树中的父子关系，满足以下关系：

   • leftchild = parent * 2 + 1

   • rightchild = parent * 2 + 2

   • parent = (child - 1) / 2

   

2. 链式存储

   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素间的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来记录该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，目前我们学的一般都是二叉链（红黑树等才会用到三叉链）

   

   typedef int BTDataType;
   // 二叉链
   struct BinaryTreeNode
   {
   	BTDataType data; // 数据域
   	struct BinaryTreeNode* leftchild;  // 指向当前节点的左孩子
   	struct BinaryTreeNode* rightchild; // 指向当前节点的右孩子
   };
   
   // 三叉链
   struct BinaryTreeNode
   {
   	BTDataType data; // 数据域
   	struct BinaryTreeNode* leftchild;  // 指向当前节点的左孩子
   	struct BinaryTreeNode* rightchild; // 指向当前节点的右孩子
   	struct BinaryTreeNode* parent;     // 指向当前节点的双亲
   };
   

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