【数据结构】二叉树的分治

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前言

在【数据结构】二叉树的遍历中，我们学习了二叉树的遍历，并通过动图演示加深了印象。在文章最后，我提到了二叉树的其他操作，列如求二叉树的节点个数等，这些操作采用的算法思想并非遍历，而是分治。本文将为你介绍二叉树的分治。

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一、分治与遍历的区别

分治和遍历都是算法设计中常见的策略，但它们的思想和应用方式略有不同。

分治算法将一个大问题划分为若干个相似但规模更小的子问题，递归求解这些子问题，然后再将子问题的解合并起来得到原问题的解。分治算法通常适用于可分割、可并行、可复用的问题，如排序、查找、图像处理等。在分治中，我们将原问题分成若干个子问题，可以通过子问题的解来解决原问题。在二叉树中，我们可以将一个大的二叉树拆分为两个子树，然后将这些子树分别递归处理，最后将它们的结果合并起来。

遍历是一种数据结构上的操作，通常用于访问树中的所有节点。遍历适用于需要遍历整个数据结构的问题，如打印树中所有节点、对树中的所有节点进行操作等。遍历有多种不同的方式，比如前序遍历、中序遍历和后序遍历等。在二叉树中，我们可以通过遍历方式来访问所有节点，对每个节点进行必要的操作，比如寻找最大节点或计算节点的深度等。遍历在处理问题时通常需要遍历所有节点，效率可能会比分治算法低，但对于某些问题，我们必须遍历整个数据结构来获得所需的信息。

总结：

• 分治的核心是将一个大问题划分为若干个相似但规模更小的子问题。
• 遍历的核心是按照某种顺序访问数据结构中的每个元素。

二者容易弄浑的地方是分治通常也要访问到每个元素，这往往让人分辨不清。

下面我们在实践运用中予以解释。

二、二叉树其他操作的实现

这是一颗手动创建的树，以它为例进行演示

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode//Binary 意思为 二叉，二进制
{
	BTDataType val;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(int x) {
	BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(newnode);
	newnode->val = x;
	newnode->left = NULL;
	newnode->right = NULL;
	return newnode;
}
BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);
	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;
	return node1;
}
int main(void) {
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
}

// 二叉树节点个数
int TreeSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int TreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

2.1 二叉树的节点个数

要想知道二叉树的节点个数，我们需要访问二叉树的每个节点。

• 遇到非NULL，size+1;
• 遇到NULL，返回0；

看到访问二叉树的每个节点，不要想当然的认为就是遍历，对于这个问题，我们采用的是分治的算法思想。上文提到，分治的核心在于将大问题分解成若干个小问题，那我们该如何进行分解呢？

为了方便理解，我们为一颗树的节点赋予身份，如下。

现在老板想知道自家公司有多少人（即求节点个数），他会怎么做？自己一个个去数？当然不会，身为老板，他会选择让经理去数。经理会自己一个个去数?当然也不会，他会让打工人去数。难到打工人会自己一个个去数？是的，他只能自己去数，然后将结果报给经理，经理再将结果报给老板。
看到这，我想你已经知道如何去分割问题了。老板要想知道公司人数，只需知道自己下面有多少经理，再让经理汇报各经理下面的人数就ok了。于是我们采用递归这种编程技巧，就可以写出以下代码：

int TreeSize(BTNode* root) {
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
	//节点为NULL，返回0，不为空，返回左子树的节点个数 + 右子树的节点个数 + 自己
}

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同理，下面的函数也可以这样去理解。

2.2 求数的高度

根节点要求左子树报告自身高度记为leftheight, 要求右子树报告自身高度记为rightheight,找出二者的最大值 + 1（根节点的高度）就是二叉树的高度了。至于左子树如何知道自身高度，根节点不用关心，递归会给出答案。

int TreeHeight(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	int leftheight = TreeHeight(root->left);
	int rightheight = TreeHeight(root->right);
	return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;
}

2.3 返回节点值为x

看根节点的值是否等于x
不等于，让根节点的左子树去找
左子树没有，让根节点的右子树去找
右子树也没有，返回NULL

至于左子树，右子树如何去找，根节点需要关心吗？不需要。这就将一个大问题划为了几个小问题。

BTNode* TreeNode(BTNode* root, BTDataType x) {
	if (root == NULL) {
		return NULL;
	}
	if (root->val == x) {
		return root;
	}
	BTNode* lret = TreeNode(root->left, 3);
	if (lret) {
		return lret;
	}
	BTNode* rret = TreeNode(root->right, 3);
	if (rret) {
		return rret;
	}
	return NULL;
}

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总结

二叉树的分治是一种常用的算法思想，它利用二叉树的递归结构，将复杂的问题分解为两个或多个相同或相似的子问题，然后递归地求解子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。二叉树的分治可以有效地降低时间复杂度和空间复杂度，提高算法的效率和可读性。二叉树的分治在许多领域都有广泛的应用，例如排序、搜索、动态规划、数据结构等。本文介绍了二叉树的分治的基本概念、原理和步骤，并通过几个典型的例题来展示二叉树的分治的应用和实现。希望本文能够对读者有所帮助和启发，也欢迎读者提出宝贵的意见和建议。