SAR成像(二)：高方位向分辨率原理

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在雷达系统中，当两个目标位于同一距离，而方位角不同时，可以被雷达区分出来的最小间隔为方位向分辨率。而方位向分辨率取决于天线有效波束宽度，当两个目标之间的方位向距离大于天线波束宽度，就能区分开来，反之就不能被区分。合成孔径雷达由于自身在方位向上的移动，在照射目标过程中合成了一个等效的大天线，从而实现方位向高分辨率。
对于真实孔径雷达来说，它的方位向分辨率为：$$\rho =H\lambda /(Dsin\beta )\dots \dots (1)$$ $H$天线距地高度，$\beta$为俯角，$\lambda$为波长，$D$为天线长度，且$\lambda /D$为波束宽度$H/sin\beta$其实就是雷达波束中心线到地面的长度。
当雷达工作频率固定后，要提高方位分辨率必须增大天线长度$D$，这会受到雷达载体的限制，不可能将天线设计的很长。合成孔径雷达利用载体飞行过程中在不同位置接收到的信号，进行方位向脉冲压缩，以提高方位向的分辨率，以达到真实大孔径天线系统的高分辨率。

下图为SAR正侧视情况下的空间几何关系图。正侧视情况下，雷达波束的中心线与测绘带垂直，假定雷达的方位向波束角为$\beta$，合成孔径长度为$L_s$，雷达在X轴上的坐标为x，雷达平台前进速度为v，目标P距天线r(t)，在X轴上坐标为x0，最小距离$R_c$。

则，目标与雷达平台之间的距离为：$$r(t)=[R_c^2+(x-x_0{)}^2{]}^{1/2}\dots \dots (2)$$在理想运动条件下，有$x=vt$(雷达是动的，$x$不固定)，则有：$$r(t)=[R_c^2+(vt-x_0{)}^2{]}^{1/2}\dots \dots (3)$$一般情况有$R_0>>(x-x_0)$，故上式近似为：$$r(t)=[R_c^2+(vt-x_0{)}^2{]}^{1/2}\approx R_c[1+(vt-x_0{)}^2/2R_c^2]\dots \dots (3)$$假定雷达发射的是连续的正弦波（其实发什么波形无所谓），即：$$s_t(t)=Aexp(j{w}_{c}t)\dots \dots (4)$$其中，$A$为振幅，$w_c$为发射信号的载频，则点目标的回波信号课表示为：$$s(t)=\sigma Aexp(j{w}_c(t-t_d))\dots \dots (5)$$其中，$\sigma$为目标散射系数，$t_d$为：$$t_d=\frac{2r(t)}{c}\dots \dots (6)$$由于雷达与目标之间有相互运动，产生多普勒效应，目标在方位向上的回波的瞬时多普勒频率为：$$f_d(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dt}\{w_c\cdot \frac{2r(t)}{c}\}\dots \dots (7)$$将式（3）代入式（7），化简整理得到：$$f_d(t)=-\frac{2v^2}{\lambda R_c}\cdot (t-t_0)\dots \dots (8)$$其中，$t_0=2R_c/c$。观察（8）式可以发现，在合成孔径$T_s=L_s/v$这段时间内，$f_d$随时间呈线性变化。故可以将方位向的回波多普勒信号看作是脉宽为$T_s$、多普勒中心频率为0、调频率为$f_d=\frac{2v^2}{\lambda R_c}$的线性调频信号。
雷达扫过目标持续时间（合成孔径时间）$T_s$与雷达平台以及天线长度之间的关系可以表示为：$$T_s=\frac{L_s}{v}=\frac{\beta \cdot R_c}{v}=\frac{\frac{\lambda }{D}\cdot R_c}{v}\dots \dots (9)$$其中，$v$为雷达平台速度，$L_s$为合成孔径长度，$\beta$为方位向的波束宽度，点目标回波信号的多普勒带宽为：$$△f_d=|f_d|T_s=\frac{2\beta v}{\lambda }\dots \dots (10)$$根据脉冲压缩原理，方位向分辨率与雷达天线波束扫过目标P时产生的最大多普勒带宽有关。当此线性调频信号经匹配滤波器之后，得到的输出信号（时域信号）包络的主瓣宽度为：$${\tau }_a=\frac{1}{△f_d}=\frac{D}{2v}\dots \dots (11)$$${\tau }_a$相当于方位向的时间分辨率，如果两物体的回波多普勒信号经脉冲压缩后的间隔大于${\tau }_a$，雷达才能将他们分辨开来。合成孔径雷达在方位向的分辨率为：$${\rho }_a={\tau }_{a}v=\frac{D}{2}\dots \dots (12)$$由式（12）可知，合成孔径雷达的方位分辨率与目标距离和波长无关，仅由天线方位向几何尺寸决定，这一特性表明SAR对照射区内不同位置上的目标能做到等分辨率成像，并且从理论上说，分辨率精度可达$D/2$（实际中达不到）。减小$D$可以提高方位向分辨率，但将使天线增益下降，从而降低雷达探测距离。

如果上面那些不好理解的话，可以总结的更通俗更概括一些：合成孔径雷达方位向的回波多普勒信号可以看成一个线性调频信号，对其进行脉冲压缩就实现了高分辨率。

相关内容：
SAR成像(零)：【总结】SAR成像原理和仿真实现
SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩
SAR成像(二)：高方位向分辨率原理
SAR成像(三)：快时间与慢时间
SAR成像(四)：多普勒频移的计算
SAR成像(五)：回波模型
SAR成像(六)：距离徙动矫正
SAR成像(七)：RD成像算法
参考：

[1]刘晖铭. 机载合成孔径雷达成像算法研究[D].西安电子科技大学,2012.
[2]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.