矩阵求逆_伴随矩阵法

1、基本知识

首先展示一个$n$阶行列式：

D = ∣ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a n 1 a n 2 … a n n ∣ = a 11 A 11 + a 12 A 12 + ⋯ + a 1 n A 1 n D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+\cdots+a_{1 n} A_{1 n} D= ​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​ ​=a11​A11​+a12​A12​+⋯+a1n​A1n​

其中,$a_{\mathrm{ij}}(\mathrm{i}=1,2,\dots ,n,\mathrm{j}=1,2,\dots ,n)$称为行列式的第$i$行, 第$j$列元素；$A_{1j}=(-1{)}^{1+j}{M}_{1j}(j=1,2,\dots ,n)$，$M_{1j}$为$D$中划掉第一行和第$j$列的所有元素后, 按原顺序排成的$n-1$阶行列式：

M 1 j = ∣ a 21 ⋯ a 2 j − i a 2 j + 1 ⋯ a 2 n a 31 ⋯ a 3 j − 1 a 3 j + 1 ⋯ a 3 n ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 ⋯ a n j − 1 a n j + 1 ⋯ a n n ∣ M_{1 j}=\left|\begin{array}{cccccc} a_{21} & \cdots & a_{2 j-i} & a_{2 j+1} & \cdots & a_{2 n} \\ a_{31} & \cdots & a_{3 j-1} & a_{3 j+1} & \cdots & a_{3 n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j-1} & a_{n j+1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| M1j​= ​a21​a31​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a2j−i​a3j−1​⋮anj−1​​a2j+1​a3j+1​⋮anj+1​​⋯⋯⋯⋯​a2n​a3n​⋮ann​​ ​

称$M_{1j}$是$D$的元素$a_{1j}$的余子式, $A_{1j}$是元素$a_{1j}$的代数余子式。

由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵：

A ∗ = ( A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 … … … … A 1 n A 2 n … A n n ) \mathbf{A}^{*}=\left(\begin{array}{cccc} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{21} & \ldots & \mathbf{A}_{\mathrm{n} 1} \\ \mathbf{A}_{12} & \mathbf{A}_{22} & \ldots & \mathbf{A}_{\mathrm{n} 2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \mathbf{A}_{1 n} & \mathbf{A}_{2 n} & \ldots & \mathbf{A}_{\mathrm{nn}} \end{array}\right) A∗= ​A11​A12​…A1n​​A21​A22​…A2n​​…………​An1​An2​…Ann​​ ​

上述矩阵称为方阵$A$的伴随矩阵。

2、可逆矩阵及其性质

对$n$阶方阵$A$，如果存在$n$阶方阵$B$，使$AB=BA=E$，则称方阵$A$是可逆的，且称$B$是$A$的逆矩阵，记为$B=A^{-1}$。可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵。单位矩阵E是可逆的，且$E^{-1}=E$，但零矩阵不可逆。

• 若矩阵$A$可逆，则$A$的逆矩阵是唯一的。
• 对任意方阵$A$有，$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$。
• 矩阵A可逆$\iff |A|\ne 0$。且$|A|\ne 0$时有等式：${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$。其中$A^{\ast }$为矩阵$A$的伴随矩阵。

可逆矩阵满足以下运算规律（设$A$与$B$是$n$阶可逆矩阵，$k$是非零常数）。

• ${\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{-1}=\mathbf{A}$。
• $(k\mathbf{A}{)}^{-1}=1/k{\mathbf{A}}^{-1}$。
• ${\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}$。
• $(\mathbf{AB}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$。

3、伴随矩阵法

下面举一个例子来计算矩阵A的逆。矩阵A如式矩阵A，则$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{\Vert A\Vert }$。

A = [ 2 7 6 9 5 1 4 3 8 ] A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}\right] A= ​294​753​618​ ​

首先来求A的行列式：
det ⁡ ( A ) = ∣ 2 7 6 9 5 1 4 3 8 ∣ \operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}\right| det(A)= ​294​753​618​ ​
= ( − 1 ) 1 + 1 ∗ 2 ∗ ∣ 5 1 3 8 ∣ + ( − 1 ) 1 + 2 ∗ 7 ∗ ∣ 9 1 4 8 ∣ + ( − 1 ) 1 + 3 ∗ 6 ∗ ∣ 9 5 4 3 ∣ = (-1)^{1+1} * 2 *\left|\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 3 & 8 \end{array}\right|+(-1)^{1+2} * 7 *\left|\begin{array}{ll} 9 & 1 \\ 4 & 8 \end{array}\right|+(-1)^{1+3} * 6 *\left|\begin{array}{cc} 9 & 5 \\ 4 & 3 \end{array}\right| =(−1)1+1∗2∗ ​53​18​ ​+(−1)1+2∗7∗ ​94​18​ ​+(−1)1+3∗6∗ ​94​53​ ​
$=-360$

从上述的计算过程，我们不难看出，求A的行列式的时间复杂度为$\mathrm{N}\ast \mathrm{O}(\mathrm{N}!)$。

接下来计算A的伴随矩阵：

C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∗ ∣ 5 1 3 8 ∣ = 37 C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∗ ∣ 9 1 4 8 ∣ = − 68 C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∗ ∣ 9 5 4 3 ∣ = 7 C 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ∗ ∣ 7 6 3 8 ∣ = − 38 C 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ∗ ∣ 2 6 4 8 ∣ = − 8 C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∗ ∣ 2 7 4 3 ∣ = 22 C 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ∗ ∣ 7 6 5 1 ∣ = − 23 C 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∗ ∣ 2 6 9 1 ∣ = 52 C 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ∗ ∣ 2 7 9 5 ∣ = − 53 \begin{array}{l} C_{11}=(-1)^{1+1} *\left|\begin{array}{ll} 5 & 1 \\ 3 & 8 \end{array}\right|=37 \\ C_{12}=(-1)^{1+2} *\left|\begin{array}{ll} 9 & 1 \\ 4 & 8 \end{array}\right|=-68 \\ C_{13}=(-1)^{1+3} *\left|\begin{array}{ll} 9 & 5 \\ 4 & 3 \end{array}\right|=7 \\ C_{21}=(-1)^{2+1} *\left|\begin{array}{ll} 7 & 6 \\ 3 & 8 \end{array}\right|=-38 \\ C_{22}=(-1)^{2+2} *\left|\begin{array}{ll} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{array}\right|=-8 \\ C_{23}=(-1)^{2+3} *\left|\begin{array}{ll} 2 & 7 \\ 4 & 3 \end{array}\right|=22 \\ C_{31}=(-1)^{3+1} *\left|\begin{array}{ll} 7 & 6 \\ 5 & 1 \end{array}\right|=-23 \\ C_{32}=(-1)^{3+2} *\left|\begin{array}{ll} 2 & 6 \\ 9 & 1 \end{array}\right|=52 \\ C_{33}=(-1)^{3+3} *\left|\begin{array}{ll} 2 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right|=-53 \end{array} C11​=(−1)1+1∗ ​53​18​ ​=37C12​=(−1)1+2∗ ​94​18​ ​=−68C13​=(−1)1+3∗ ​94​53​ ​=7C21​=(−1)2+1∗ ​73​68​ ​=−38C22​=(−1)2+2∗ ​24​68​ ​=−8C23​=(−1)2+3∗ ​24​73​ ​=22C31​=(−1)3+1∗ ​75​61​ ​=−23C32​=(−1)3+2∗ ​29​61​ ​=52C33​=(−1)3+3∗ ​29​75​ ​=−53​

从上述的计算过程，我们不难看出，求A的伴随矩阵的时间复杂度为$\mathrm{N}\ast \mathrm{O}(\mathrm{N}!)$。所以求逆的整个过程的时间复杂度为$2\ast \mathrm{N}\ast \mathrm{O}(\mathrm{N}!)$。对应的伴随矩阵为：

A ∗ = [ 37 − 38 − 23 − 68 − 8 52 7 22 − 53 ] A^{*}=\left[\begin{array}{ccc} 37 & -38 & -23 \\ -68 & -8 & 52 \\ 7 & 22 & -53 \end{array}\right] A∗= ​37−687​−38−822​−2352−53​ ​

A的逆矩阵为：

A − 1 = A ∗ det ⁡ ( A ) = [ 37 − 360 − 38 − 360 − 23 − 360 − 68 − 360 − 8 − 360 52 − 360 − 6 − 360 22 − 360 − 53 − 360 ] = [ − 37 360 19 180 23 360 17 90 1 45 13 90 − 7 360 − 11 180 53 360 ] A^{-1}=\frac{A^{*}}{\operatorname{det}(A)}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{37}{-360} & \frac{-38}{-360} & \frac{-23}{-360} \\ \frac{-68}{-360} & \frac{-8}{-360} & \frac{52}{-360} \\ \frac{-6}{-360} & \frac{22}{-360} & \frac{-53}{-360} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{37}{360} & \frac{19}{180} & \frac{23}{360} \\ \frac{17}{90} & \frac{1}{45} & \frac{13}{90} \\ -\frac{7}{360} & -\frac{11}{180} & \frac{53}{360} \end{array}\right] A−1=det(A)A∗​= ​−36037​−360−68​−360−6​​−360−38​−360−8​−36022​​−360−23​−36052​−360−53​​ ​= ​−36037​9017​−3607​​18019​451​−18011​​36023​9013​36053​​ ​