弗洛伊德（Floyd）算法求任意两点间的最短距离
最近要搞最短路径方面的工作，把2年前搞过的北京地铁换乘算法拿出来看看，顺带整理下写出来，和大家分享下，算是抛砖引玉吧
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理带权有向图或负权的最短路径问题
解决此问题有两种方法：
其一是分别以图中每个顶点为源点共调用n次算法；
其二是采用Floyd算法。 两种算法的时间复杂度均为O(n3)，但后者形式上比较简单。
Floyd算法的基本思想：
（1）利用二维数组dist[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组dist的初值等于图的带权邻接矩阵;
（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=Φ;
（3）依次向S中加入v0 ,v1… vn-1，每加入一个顶点，对dist[i][j]进行一次修正：设S={v0 ,v1… vk-1}，加入vk，则dist(k)[i][j] = min{ dist(k-1)[i][j]，dist(k-1)[i][k]+dist(k-1)[k][j]}。
dist(k)[i][j]的含义：允许中间顶点的序号最大为k时从vi到vj的最短路径长度。
dist(n-1)[i][j]就是vi到vj的最短路径长度。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class FloydInGraph {
private static int INF = Integer.MAX_VALUE;
//dist[i][j]=INF<==>i 和 j之间没有边
private int[][] dist;
//顶点i 到 j的最短路径长度，初值是i到j的边的权重
private int[][] path;
private List result = new ArrayList();
public static void main(String[] args) {
FloydInGraph graph = new FloydInGraph(5);
int[][] matrix =
{{INF, 30, INF, 10, 50}, {INF, INF, 60, INF, INF}, {INF, INF, INF, INF, INF}, {INF, INF, INF, INF, 30},
{50, INF, 40, INF, INF},};
/* 最下面的图
int[][] matrix = {
{0 ,20,INF,INF,20,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{20,0 ,30,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,30,0 ,20,INF,30,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,20,0 ,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{20,INF,INF,INF,0 ,10,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,30,INF,10,0 ,20,50,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,20,0 ,40,10,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,50,40,0 ,INF,20,20,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,10,INF,0 ,20,INF,INF,INF,30,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,20,20,0 ,20,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,20,INF,20,0 ,20,INF,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,20,0 ,10,INF,INF,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,10,0 ,INF,INF,20,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,30,INF,INF,INF,INF,0 ,20,INF,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,20,0 ,20,INF},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,20,INF,20,0 ,40},
{INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,INF,40,0 }
};
*/
int begin = 0;
int end = 4;
graph.findCheapestPath(begin, end, matrix);
List list = graph.result;
System.out.println(begin + " to " + end + ",the cheapest path is:");
System.out.println(list.toString());
System.out.println(graph.dist[begin][end]);
}
public void findCheapestPath(int begin, int end, int[][] matrix) {
floyd(matrix);
result.add(begin);
findPath(begin, end);
result.add(end);
}
public void findPath(int i, int j) {
int k = path[i][j];
if (k == -1) {
return;
}
findPath(i, k); //递归
result.add(k);
findPath(k, j);
}
public void floyd(int[][] matrix) {
int size = matrix.length;
//initialize dist and path
for (int i = 0; i < size; i++) {
for (int j = 0; j < size; j++) {
path[i][j] = -1;
dist[i][j] = matrix[i][j];
}
}
for (int k = 0; k < size; k++) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
for (int j = 0; j < size; j++) {
if (dist[i][k] != INF &&
dist[k][j] != INF &&
dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
path[i][j] = k;
}
}
}
}
}
public FloydInGraph(int size) {
this.path = new int[size][size];
this.dist = new int[size][size];
}
} 运行结果：
0 to 4,the cheapest path is:
[0, 3, 4]
40
最短距离有三种情况：
１、两点的直达距离最短。（如下图
２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图
对于第一种情况：
在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于第二种情况：
弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短
对于第三种情况：
如下图的五边形，可先找一点（比如x，使
此图的一个运行结果:
D:\tutu>java FloydInGraph
10 to 14,the cheapest path is:
[10, 11, 12, 15, 14]
70