艾宾浩斯曲线记忆法收敛性问题

  艾宾浩斯记忆曲线是德国心理学家艾宾浩斯提出来的人脑遗忘规律。利用这一研究成果，人们提出了艾宾浩斯记忆法，也就是定期复习之前学过的知识。我们以单词为例，比方说每天新学一个单词，然后后边按照艾宾浩斯记忆法在固定的时间复习这一个单词。那么问题来了，如果我们采用艾宾浩斯记忆法，随着之前学习的单词越来越多，无穷天以后会不会每天要学习和复习的单词无穷多，以至于无法操作呢？

  这个问题我没有想出非常严格的解法，但是有一个近似给出解的思路。

  为了方便解这个问题，我们提出一个概念：第i个单词在第n天被学到的概率，理所当然的,。这个(n)定义为，这个意思是如果一个单词在过了n天的时候被复习过次，那么我们认为这个单词被学到的概率为，可以看出这是一种近似。
  第n天的时候，我们已经学习过了n个单词。那么第n天需要学习的单词量是之前所有的的和，即。我们立即看出来这其实是一个无穷级数问题。如果与n的关系是调谐级数关系的话，即，那么级数就不收敛，无穷天以后我们就需要学习无穷多个单词。如果这个级数是等比级数的话，比如说，那么级数就收敛。调谐级数关系意味着，也就是。

  这里我们立即发现我们之前的假设存在一个问题。如果我们假设，那么因为，我们总是会得出,因此级数总是不能收敛的，这与我们的直觉不符。于是我们怀疑的定义方式可能有点问题。
  经过修正的定义方法如下：因为我们已知随着时间的推移，复习的频率会越来越低，所以会越来越小。所以我们采用这样一种定义方式是非常适合的：“等于前一次复习与前前一次复习的时间分之一。”这个理由解释如下，在前前一次复习完成之后到前一次复习的天之内，进行了一次复习，因此我们在这段时间的复习概率等于。
  接下来我们考虑两种典型的情况。一种是在也就是天时进行复习。那么鉴于我们的定义方式，我们总是有天的时间里复习的概率是。这些天的所有概率相加我们得到无穷大。

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  好吧经过一番深思熟虑，这个问题没那么复杂，
我们不妨构建一个一维向量,其中1表示当天需要复习，0表示不需要复习。接着我们构建矩阵

容易证明，想得到第n天需要复习的单词数量，就等于要得到第n列的求和。而第n列的求和其实也就是第一行第1个元素到第n个元素的求和。由于我们规定当时，，所以显然，第列的和为无穷大，也即无穷天之后需要复习无穷多个单词。