3.4 随机变量的相互独立性

学习目标：

要学习二维随机变量的相互独立性，我会按照以下步骤进行：

1. 学习独立性的概念：在概率论中，两个事件A和B是相互独立的，当且仅当它们的概率乘积等于它们的联合概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)。将此概念扩展到随机变量上，若两个随机变量X和Y满足P(X∩Y)=P(X)P(Y)，则称X和Y是相互独立的。

2. 学习二维随机变量的相互独立性：对于二维随机变量(X,Y)，如果其任意一个事件A与B的概率乘积等于它们的联合概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，那么称X和Y是相互独立的。

3. 学习如何判断二维随机变量的相互独立性：对于给定的二维随机变量(X,Y)，可以通过以下两种方式判断它们是否相互独立：

   • 判断它们的联合分布函数是否等于各自的边缘分布函数的乘积。如果等于，那么X和Y是相互独立的；否则，它们不是相互独立的。

   • 判断它们的协方差是否为0。如果协方差为0，那么X和Y是相互独立的；否则，它们不是相互独立的。

4. 学习相互独立性的性质和应用：掌握相互独立性的性质和应用，包括：

   • 如果X和Y是相互独立的，那么它们的函数g(X)和h(Y)也是相互独立的。

   • 对于独立的随机变量X和Y，它们的期望值的乘积等于它们的联合期望值，即E(XY)=E(X)E(Y)。

   • 在一些实际问题中，可以利用相互独立性来简化计算过程，例如在贝叶斯定理、概率密度函数的乘积形式等方面的应用。

我的理解：

二维随机变量 (X,Y)相互独立的条件为：对于任意的 x,y，都有 P{X\leq x, Y\leq y}=P{X\leq x}\cdot P{Y\leq y}。

这等价于以下条件之一：

• F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)，其中 F_{X,Y} 为 (X,Y)的联合分布函数，F_X 和 F_Y 分别为 X和 Y 的边缘分布函数；
• 对于任意实数 x和 y，都有 f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)，其中 f_{X,Y} 为 (X,Y)的联合概率密度函数，f_X 和 f_Y 分别为 X 和 Y的边缘概率密度函数。

需要注意的是，当 X和 Y 独立时，它们不一定是相互独立的，因为相互独立需要满足更强的条件。此外，在实际应用中，判断相互独立性需要结合具体问题进行分析。