预估数值校准分析

1、充分拟合的模型，分某特征取值维度在训练集上积分（例如区分产品类型进行预估值积分），是否等于训练集上的统计值。

A：不是，需要具体分析。

• a、理想状态，当模型排序能力100%正确的时候（即所有正样本=1，负样本=0），此时在任意维度上积分，与统计值一致（相当于label与prediction每条样本的数值上就一致了）
• b、理想状态，当数据充分拟合（甚至在training set上过拟合），在loss最低的状态下，可以很简单地证明其回归到均值上。
  直觉上也很容易分析，对于训练集中每条ins，它都具有一个编码，对于相同特征编码的ins被划分成组，每组标记为,，模型预估值会回归到这些ins的均值上。假如某特征取值有个分组，有种取值，它可能会被划分成种不同的ins编码，但是肯定满足，且不同取值的ins肯定会分到不同的ins组中。这里重点是，ins分组一定是一个比特征取值更细的分组，每个对应多个分组，其集合为。因此，最终在特征维度进行积分得到，即这个分组上的加权平均（其中Z是所有ins分组中的ins的下标集合）。而分子为这些ins中正例数量，分母：为ins总的数量，即其最终预估值被正确地“回归”到对应“特征分组”的均值上。
• c、由于模型本身有各种正则，early stop，以及资源限制导致收敛不完全等因素，所以真实条件下，不可能完美拟合到训练集，因此在特点特征取值上积分，不能回归到统计值。
• d、模型本身的限制不仅仅局限于c中的因素，还有一个很大的因素就是“容量”限制。很常见于线性模型中，由于其参数量以及自由度的限制，会产生原生的bias。比如两个特征笛卡尔积完全交叉维度为，如果仅仅在模型中输入未交叉的特征，那么其“参数量”就为，正常情况下是不足以表征个不同的值的，因此在多个维度上会产生bias。这个问题其实在DNN中也存在，由于DNN多数出于对数据的low-rank假设，因此当underneath的数据秩非常高的时候，则模型可能无法达到所有维度的无偏。
• e、现实中最大的问题，还是covariate shift。b假设的结论如果要在测试集中成立，需要建立在其特征的分布，即其条件分布【全部维度即其联合分布】不能发生任何变化的严苛条件下，任何轻微的分布变化，都会导致其“积分后”的数值发生较大的变化。当然，这里还有一个假设，就是我们模型学到的真理，并不是真正的ground truth。(如果是真正概率发生的ground truth的话，无论上层的分布如何变化，最终模型都能正确地“模拟”出生成的分布。)

2、post-training 再分维度校准，是因为模型没学到这些维度吗？整体排序性能受到怎样的影响？

• a、关于是否“学到”：
  通过上一个问题的分析，我们可以知道，分特征维度进行统计如果最终不等于统计值是存在多种影响因素的。
  这里的，“没有学到”这个说法，更多地是想表达模型在特定特征维度上的“收敛”程度不佳。
  因此，如果判断是收敛性的问题，通过一些特征与结构设计，是可以解决“没有学到”的问题的。（在这个判断假设下，需要验证做完优化后整体loss应该会进一步降低）
• b、是否分维度校准
  首先需要确定我们是否，以及为什么需要分维度校准。在不同维度上是否存在很大的差异，哪些是可以通过模型优化的，哪些是不能的。比如去除特定的抽样比例，通过增加训练轮数，加入特征，结构加速收敛等操作，看能否在不牺牲泛化能力的情况下优化不同维度上的数值diff，如果不行，才需要分维度校准。
  在分维度校准的状态下，其实模型的排序能力没有通过模型优化，所以是不能保证的，但是其绝对值数值上的准确性是可以得到优化的。
  因此在后续策略上需要谨慎地考虑其带来的trade off，潜在排序能力的损失换来的增益是否crucial。

3、能否直接通过模型中的调整来优化等？

根据上面的讨论，其实通过特征的设计，结构的设计本身也是相当于直接在模型这个scope中，进行了trade off。且这种方式相对于post-training来说更能保障整体的排序能力。
但是具体的优化方式，需要更细致的探讨TODO：比如在LR部分（或者wide侧），将特定维度与其他维度都进行交叉，可以减少bias，但是这种方式显然提升了variance。

4、分维度post-training calibration优劣

• 劣势：排序能力无法保证，具体排序能力损失，影响面大小取决于后续策略使用。
• 优势：
  对模型本身优化入侵小。
  在模型时效性有限的情况下可以更快地拟合数据。
  当数据分布变化较快的时候，跟踪快速变化的数据（往往模型对快速变化仍难以捕捉）。
  提供一种高阶更flexible的trade off的能力。（因为其本质还是在bias和variance之间做trade off，模型牺牲了一些特定维度的bias，获得更强的泛化性能）