微积分——极值定理的证明
1. 提出问题
极值定理(The Extreme Value Theorem)最初是由捷克数学家波尔查诺(Bernard Bolzano(1781年10月5号-1848年11月18号), 他是一位意大利血统的波希米亚数学家、逻辑学家、哲学家、神学家和天主教神父，也以其自由主义观点而闻名)证明，在1830年代，在一部作品<
在数学中，特别是在实分析领域，以Bolzano 和 Weierstrass 的名字命名的Bolzano-Weierstrass 定理 是有限维欧几里德空间 
中关于收敛的一个基本结论。定理指出，在 中每一个无限有界序列都有一个收敛子序列(convergent subsequence)。等价公式是 的一个子集是序列紧致的，当且仅当它是闭集且有界的。这个定理有时候又称为序列紧致性定理(sequential compactness theorem)。
Bolzano-Weierstrass定理虽然以Bolzano和Weierstrass两人的名字命名，但事实上，是由Bolzano首先于1817年在证明中值定理(the intermediate value theorem)的时候作为一个引理(lemma)加以证明的。大约 50 年后，这个结论由于其自身的正确性被认定具有重要意义，并由魏尔斯特拉斯(Weierstrass)再次加以证明。自此以后，它已成为分析的基本定理。
极值定理在很多教材中都是直接给出并引用，并未加以证明，因此，很多人对这个定理似乎有点疑惑。
2. 极值定理的描述
在微积分中，极值定理指出，假如一个实函数f在闭区间[a,b]上有定义且连续，则f在此闭区间上既有最小值又有最大值。即，在闭区间[a,b]上存在一个数c和d ,使得：
对于∀x∈ [a,b] 有 f (c) ≥ f (x) ≥ f (d) 。
此定理比相关的边界定理(boundedness theorem)更为具体,边界定理仅指出了连续函数f在这个闭区间上有界；即，存在实数 m 和 M ,使得：
对于∀x∈ [a,b] 有 M ≥ f(x) ≥ m 。
这并不意味着，m和M就一定是函数f在闭区间[a,b]上的最小值和最大值，极值定理的内容才是这样。
极值定理用于证明罗尔定理(Rolle’s Theorem)。在Karl Weierstrass公式中，该定理指出,从非空紧致空间到实数子集的连续函数达到最大值和最小值。
3. 极值定理的证明
要证明极值定理，首先要证明边界定理(boundedness theorem)。证明极值定理的基本步聚为：
(1) 证明边界证理；
(2) 使用边界定理证明极值定理的上确界。
3.1 证明边界定理
边界定理(boundedness theorem):假如函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义且连续，则其在此闭区间上有界，即，存在某个实数N,使得对于每一个x∈[a, b],都有|f(x)|≤ N。
证明：考虑区间[a,b]中的点x构成的集合B，使得f(x)在闭区间[a, x]上有界。我们注意到，a 在B中，因为对于每一个x∈[a, a](仅有一个这样的x)，f(x)的值都是f(a),这个函数值承担了一个边界的角色。
此外，注意到，假如某个 
> a 在 B 中, 则所有介于 a 与 之间的值也一定在B 中。已知 f 在 a点的右侧是连续的，对于ε = 1，我们可以求得一个δ > 0，使得对于所有[a, a + δ ]中的 x，都有| f(x)- f(a)|<1成立。其结果就是，在闭区间[a, a + δ ]上，即B的元素中属于[a, a + δ ] 闭区间上的所有x ,f 都被界定在 f(a)-1和 f(a)+1之间。
从这一点，我们知道，集合B包含某x值的区间和非零长度的区间，在其左端a是封闭的。
注意到，集合B中不会有元素大于b，考虑B的上确界(supremum)(即，大于或等于B中每一个值的最小值)，我们记为s,我们的目标是证明s = b。
给定上述集合B中闭区间的非零长度，我们立即可以推导出，s > a。
则对于s而言，其值剩下一种可能，即位于区间(a,b]。然而，考虑隐含意义，假如s < b 。
根据定义，在x = s点是连续的。由此，对于 ε = 1，我们可以求得一个 δ > 0，使得对于所有[s - δ, s + δ ]中的x，都有| f(x)- f(s)|<1成立。因此，对于所有[s - δ, s + δ ]中的 x, f 都被界定在 f (s)-1和f(s)+1之间。注意，一定存在某个集合B中的 
，满足s – δ < x2
< s 。如果不存在，则s不会是上确界。但是假如 在B中，所有介于a 和 之间的点一定也位于B中。因此，f在闭区间[a, ]上有界。
由于[a, x2
]和[s - δ, s + δ]重叠，其中f也是有界的，则f在闭区间 [a, s + δ ]上一定有界。这就要求集合B的上确界大于s，与前面的假设等于s相矛盾。
因此，s < b是不可能的。剩下一种情况，即 s = b。要使用s = b成立，我们现在关注f在s点的左侧的连续性，我们知道，对于ε = 1，我们可以求得一个δ > 0，使得对于所有[s - δ, s]中的x，都有| f (x)- f(s)|<1成立。类似于我们前面的参数，这意味着f在区间[s - δ, s]上有界。则一定存在某个位于B 中的 
，满足 
。如若不然，则 s 不会是 B 的上确界。
这意味着 f 在[a, ]上是有界的，其与[s - δ, s]重叠，使得f在[a, s]上有界。由于s = b,我们得到f在[a, b]上有界，这就是所要证明的。
3.2 证明极值定理
因为函数f在闭区间[a, b]上连续，由边界定理，我们立即知道，它在闭区间[a, b]上一定有界。
假设的f在此闭区间上的最上边界是M。
假如在闭区间[a, b]上存在某点c,其中 f(c)= M。则不需要证明，函数f已经取得其最大值M。
假如，不存在这样的某点c。则对于闭区间[a, b]上所有x，都有f(x)< M。定义一个新的函数 
。注意，对于闭区间[a, b]上所有x，都有g(x)> 0，并且是连续的。因此，根据边界定理，g(x)在此闭区间上也是有界的。
已经g在闭区间[a, b]上有界，则一定存在某个K > 0，使用对于闭区间[a, b]的所有 x,都有
这意味着，对于闭区间[a, b]上的每一个x，上式化简得到：
然而，这是不可能的，与假设M是最小的上界矛盾！由此，得证。
(注：似乎没有对下确界加以证明。)