矩阵相似题型总结

矩阵相似题型总结
（一）题型一：判断含重特征值的方阵A能否相似对角化（即能否相似于对角阵）
·所有特征值均不同的矩阵必可相似对角化，含重特征值的矩阵呢？可如下做
（1）求A的特征值，找出重特征值的个数k个
（2）立马用n-k [n为未知数个数，即列数]
【注意】这里应有一个意识：特征矩阵的秩r≥n-k，刚好取到＝时才可相似对角化；否则不能
（3）写出该重特征值对应的特征矩阵，看秩r是否＝n-k

【例】常见如3阶方阵A有2重特征值λ1＝λ2，λ1对应的特征矩阵的秩r必≥1，仅当r＝1时方阵A才可相似对角化

（二）题型二：判断某矩阵A是否与所给对角阵相似
【技】可先看A的迹/行列式/秩是否分别与对角阵相同，任一不同则不相似（尤其可先看一眼迹tr）
求矩阵A的所有特征值，与给出的对角阵的所有元素对比：若完全一样则相似，否则不相似

（三）题型三：判断矩阵A B是否相似
·若2矩阵A B相似，则A B相等的有：①行列式 ②秩 ③迹 ④所有特征值 ⑤每个特征值对应特征矩阵的秩
·常可利用上面矩阵相似的必要条件来判断是否相似，上述任一不同则不相似
·一个定理(真题考过)：若2个矩阵A B相似于同一对角阵，则A B必相似 [注意前提是A B均可相似对角化(即相似于对角阵)，判断标准可见（一）]
【注意】上述反之不成立。若矩阵A B相似，要么A B都不相似于对角阵，要么A B相似于同一对角阵（因为A B的特征值完全一样）

【例题】下面的题让选与矩阵A相似的矩阵。求出abcd矩阵的特征值都与A阵相同；且发现A不相似于对角阵，abcd也都不相似于对角阵。作为选择题可利用相似的必要条件：“(每个)特征值的特征矩阵的秩相等” 这一条件排除bcd选项

【补充说明】（1）若矩阵A B相似，则
①A B有完全相同的特征值，但特征向量不一定相同
②A B同时可逆or同时不可逆（因为A B行列式相等）
③A B可同时相似于同一对角阵or同时不与任一对角阵相似（原因见（三）的注意）

（2）若大题考2个非对角矩阵A B相似，让写出过渡阵
·一般A B是可相似对角化的（即可相似于同一对角阵），进而用套路解出，真题考过