矩阵相似题型总结

矩阵相似题型总结
(一)题型一:判断含重特征值的方阵A能否相似对角化(即能否相似于对角阵)
·所有特征值均不同的矩阵必可相似对角化,含重特征值的矩阵呢?可如下做
(1)求A的特征值,找出重特征值的个数k个
(2)立马用n-k [n为未知数个数,即列数]
【注意】这里应有一个意识:特征矩阵的秩r≥n-k,刚好取到=时才可相似对角化;否则不能
(3)写出该重特征值对应的特征矩阵,看秩r是否=n-k

【例】常见如3阶方阵A有2重特征值λ1=λ2,λ1对应的特征矩阵的秩r必≥1,仅当r=1时方阵A才可相似对角化

(二)题型二:判断某矩阵A是否与所给对角阵相似
【技】可先看A的迹/行列式/秩是否分别与对角阵相同,任一不同则不相似(尤其可先看一眼迹tr)
求矩阵A的所有特征值,与给出的对角阵的所有元素对比:若完全一样则相似,否则不相似

(三)题型三:判断矩阵A B是否相似
·若2矩阵A B相似,则A B相等的有:①行列式 ②秩 ③迹 ④所有特征值 ⑤每个特征值对应特征矩阵的秩
·常可利用上面矩阵相似的必要条件来判断是否相似,上述任一不同则不相似
·一个定理(真题考过):若2个矩阵A B相似于同一对角阵,则A B必相似 [注意前提是A B均可相似对角化(即相似于对角阵),判断标准可见(一)]
【注意】上述反之不成立。若矩阵A B相似,要么A B都不相似于对角阵,要么A B相似于同一对角阵(因为A B的特征值完全一样)

【例题】下面的题让选与矩阵A相似的矩阵。求出abcd矩阵的特征值都与A阵相同;且发现A不相似于对角阵,abcd也都不相似于对角阵。作为选择题可利用相似的必要条件:“(每个)特征值的特征矩阵的秩相等” 这一条件排除bcd选项矩阵相似题型总结_第1张图片
矩阵相似题型总结_第2张图片

【补充说明】(1)若矩阵A B相似,则
①A B有完全相同的特征值,但特征向量不一定相同
②A B同时可逆or同时不可逆(因为A B行列式相等)
③A B可同时相似于同一对角阵or同时不与任一对角阵相似(原因见(三)的注意)

(2)若大题考2个非对角矩阵A B相似,让写出过渡阵
·一般A B是可相似对角化的(即可相似于同一对角阵),进而用套路解出,真题考过

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