《算法竞赛进阶指南》0x59 单调队列优化DP
0x59 单调队列优化DP
在正确性的前提下，及时排除不可能的决策，保持决策集合内部有序和查找决策的高效性。
对于形如 d p i = min { d p j + f ( i ) + f ( j ) } dp_i = \min\{dp_j+f(i)+f(j)\} dpi=min{dpj+f(i)+f(j)}，都可以尝试使用单调队列优化。
“一个人如果比你小还比你强，那么你就永远不如他”
例如状态转移方程 f i = max j ≥ i − r i − l { f j + a i + b j } f_i = \max\limits_{j \ge i-r}\limits^{i-l}\{f_j+a_i+b_j\} fi=j≥i−rmaxi−l{fj+ai+bj}
f i = max j ≥ i − r i − l { f j + b j } + a i f_i = \max\limits_{j \ge i-r}\limits^{i-l}\{f_j+b_j\}+a_i fi=j≥i−rmaxi−l{fj+bj}+ai。当前决策集合为 [ i − r , i − l ] [i-r,i-l] [i−r,i−l]，当 i i i 增大时，集合的左端点也增大，之前小于 i − r i-r i−r 的点之后永远小于 i − r i-r i−r，所以可以永远删除。
如果 j < j ′ j
围栏
题意：
有 n n n 个点， m m m 个人。第 i i i 个人可以选择包含点 s i s_i si，长度不超过 l i l_i li 的一段连续的点，每选择一个可以得到 p i p_i pi 的报酬。
询问如何安排使报酬和最多。
解析：
将所有人按 s i s_i si 升序排序，保证没有后效性。
令 f i , j f_{i,j} fi,j 表示前 i i i 个人刷到 j j j 的报酬和
对第 i i i 个人:
- 如果不选或者不选当前点 j j j： f i , j = m a x ( f i − 1 , j , f i , j − 1 ) f_{i,j} = max(f_{i-1, j}, f_{i, j-1}) fi,j=max(fi−1,j,fi,j−1)
- 选择 j j j ( j ≥ s i 且 j < s i + l i ) (j \ge s_i且j < s_i+l_i) (j≥si且j<si+li)： f i , j = max k = j − l i s i − 1 { f i − 1 , k + p i × ( j − k ) } f_{i,j} = \max\limits_{k = j-l_i}\limits^{s_i-1}\{f_{i-1, k}+p_i\times (j-k)\} fi,j=k=j−limaxsi−1{fi−1,k+pi×(j−k)}
当 i i i 不变时，随着 j j j 增大，决策区间的左边界 j − l i j-l_i j−li 不断增大，维护 f i − 1 , k − p i × k f_{i-1,k}-p_i \times k fi−1,k−pi×k 递减的单调队列，从队首转移
代码：
#include裁剪序列
题意：
长度为 n n n 的序列，分成若干段，每段所有数的和不能超过 m m m，使 每段最大值 的和最小
解析：
令 f i f_{i} fi 表示前 i i i 个数的最小代价。根据含 i i i 的最后一段长度划分集合 f i = min s i − s j ≤ m { f j + max j + 1 ≤ k ≤ i a k } f_{i} = \min\limits_{s_i-s_j \le m}\{f_j+\max\limits_{j+1\le k \le i} a_k \} fi=si−sj≤mmin{fj+j+1≤k≤imaxak} s i s_i si 为 a a a 的前缀和
如果能在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间内求出 max j + 1 ≤ k ≤ i a k \max\limits_{j+1\le k \le i} a_k j+1≤k≤imaxak 的话，时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
然后就傻眼了，看了大佬的博客才会的。
在枚举到 i i i 时，假设决策集合的左端点为 j j j时，即将 [ j , i ] [j,i] [j,i] 分成一段且 s i − s j − 1 ≤ m s_i-s_{j-1} \le m si−sj−1≤m 的最小的 j j j。此时 f i = f j − 1 + a p 1 f_i = f_{j-1}+a_{p_1} fi=fj−1+ap1， a p 1 = max j ≤ k ≤ i a k a_{p1} = \max\limits_{j\le k \le i} a_k ap1=j≤k≤imaxak。
当决策点 u ∈ [ j , p 1 ] u\in[j,p_1] u∈[j,p1]时， max u ≤ k ≤ i a k \max\limits_{u\le k \le i} a_k u≤k≤imaxak 值不变， f i = min { f u − 1 } + a p 1 f_i = \min\{f_{u-1}\}+a_{p_1} fi=min{fu−1}+ap1。
f u − 1 f_{u-1} fu−1 随着 u u u 减小而减小，所以当 u ∈ [ j , p 1 ] u\in [j,p_1] u∈[j,p1] 时，最优决策点为 j j j， f i = f j − 1 + a p 1 f_i = f_{j-1}+a_{p_1} fi=fj−1+ap1
将决策集合 [ j , r ] [j, r] [j,r] 划分为两部分，第一部分为 [ j , p 1 ] [j, p_1] [j,p1]，第二部分为 [ p 1 + 1 , i ] [p_1+1, i] [p1+1,i]。
在第二部分，设 a p 2 = max p 1 + 1 ≤ k ≤ i a k a_{p_2} = \max\limits_{p_1+1\le k \le i} a_k ap2=p1+1≤k≤imaxak，当 u ∈ [ p 1 + 1 , p 2 ] u\in [p_1+1, p_2] u∈[p1+1,p2] 时， max u ≤ k ≤ i a k \max\limits_{u\le k \le i} a_k u≤k≤imaxak 不变，最优决策点为 p 1 + 1 p_1+1 p1+1， f i = f p 1 + a p 2 f_i = f_{p_1}+a_{p_2} fi=fp1+ap2。
以此类推，在按照最大值的位置进行分段。
所以，可以维护单调递减的 a p k a_{p_k} apk。但直接枚举维护的序列时间复杂度还是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，需要快速求出这些决策点中的最优决策点，即最小值。每次操作都是找到最小值，在头部删除，尾部删除和插入，可以用multiset来维护决策点的对应值 f p k + a p k + 1 f_{p_k}+a_{p_{k+1}} fpk+apk+1。
需要注意的是，维护的序列 a p k a_{p_k} apk 中如果有 c n t cnt cnt 个元素，则multiset 中有 c n t − 1 cnt-1 cnt−1 个元素。
所以当序列插入后至少有两个元素时，在multiset中插入；删除前序列中至少有两个元素时，在multiset中删除。
每次转移都是 O ( log n ) O(\log n) O(logn) 的，所有时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlog n) O(nlogn)
代码：
#include