霍夫变换（Hough Transformation）基本思想及MATLAB相关函数

一、Hough变换的基本思想

对于直角坐标系里的一条直线l，可用ρ，θ来表示该直线，相应的直线方程为$\rho =xcos\theta +ysin\theta$，其中，ρ是原点到该直线的垂直距离，θ是垂线与x轴的夹角，这条直线是惟一的。
构造一个参数（ρ，θ）的平面，从而（ρ，θ）平面的一点，对应一条直线。

【结论】：ρ，θ坐标系中的一个点对应x，y坐标系中的一条直线。而x，y坐标系中的一个点对应ρ，θ坐标系中的一组点（一条曲线），x，y坐标系中直线上的所有点在ρ，θ坐标系中对应的所有曲线交汇到一个点上。

二、算法实现

根据点-线对偶性把检测问题转换到参数空间，通过简单的累加统计完成检测任务。
1.在参数空间（ρ，θ）里建立一个2D累加数组A(ρ，θ)，初始化为0；
2.对XY空间中的每一个给定点做Hough变换，让θ在[θ_min,θ_max]区间取所有可能的值，并求出ρ；
3.根据ρ，θ取整数值在A(ρ，θ)处累加A(ρ，θ)=A(ρ，θ)+1,A(ρ，θ)的值说明多少点是共线的，最大值所对应的(ρ，θ)的值也对应了直线方程的参数。

如：

上图中，0表示零条直线穿过，1表示一条直线穿过，2表示两条直线穿过，3表示三条直线穿过，4表示四条直线穿过。
而累加器A中就存储了这样的信息。

三、MATLAB相关函数

3.1 hough

Hough变换
$\rho =x\ast cos(\theta )+y\ast sin(\theta )$

[H,theta,rho] = hough(BW,'RhoResolution',0.5,'ThetaResolution',0.5) 

• BW：m*n维二值图
• RhoResolution：ρ的分辨率，缺省为1
• ThetaResolution：θ的分辨率，θ的范围是[-90,90)
• H：hough变换后的累加器矩阵，行数为m，列数为n
• theta：θ
• rho：ρ
  

3.2 houghpeaks

确定Hough变换中的峰值

P=houghpeaks(H,2,'Threshold',15);

• 找到Hough变换结果，累加容器H中所有大于阈值Threshold的峰值中，最大的2个峰值所在的位置P。
• P为矩阵，记录H中被找到的峰值的横纵坐标。

3.3 houghlines

基于Hough变换提取直线段

P=houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',5,'MinLength',7);

• 二值图BW中对应指定（theta，rho），且容器中数值>峰值P的所有线段lines
• 且线段最小长度大于MinLength
• 线段间距离
• lines为结构变量，(lines.point1,lines.point2)记录满足条件的线段端点

四、程序实例

Im=imread('1.jpg');
[m,n] = size(Im);
%执行Hough变换并显示Hough矩阵
BW = edge(Im,'canny');
[H,T,R] = hough(BW);
imshow(H,[ ],'XData',T,'YData',R,'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta');ylabel('\rho');
axis on, axis normal, hold on;
%在Hough矩阵中寻找前40个大于Hough矩阵中最大值0.24倍峰值
P=houghpeaks(H,40,'threshold',ceil(0.24*max(H(:))));
x = T(P(:,2));y = R(P(:,1));%由行、列索引转换成实际坐标
plot(x,y,'s','color','white');%在Hough矩阵图像标出峰值位置
%找到并绘制直线
lines=houghlines(BW,T,R,P,'FillGap',20,'Minlength',2);%合并距离小于20的线段，丢弃所有长度小于2的线段
figure(2),imshow(Im),hold on
max_len = 0;
for k = 1:length(lines)%依次标出各条直线段
	xy = [lines(k).point1;lines(k).point2];
	plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','black');

	%确定最长线段的端点
	len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);%最长线段的长度
	if ( len > max_len)
		max_len = len;
		xy_long = xy;
	end
end

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