「线性DP」购物

购物

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24213/1015

题目描述

这家糖果店将会在每天出售一些糖果，它每天都会生产出m个糖果，第i天的第j个糖果价格为 $C[i][j]$ 元。

现在的你想要在接下来的n天去糖果店进行选购，你每天可以买多个糖果，也可以选择不买糖果，但是最多买m个。（因为最多只生产m个）买来糖果以后，你可以选择吃掉糖果或者留着之后再吃。糖果不会过期，你需要保证这n天中每天你都能吃到至少一个糖果。

这家店的老板看你经常去光顾这家店，感到非常生气。（因为他不能好好睡觉了）于是他会额外的要求你支付点钱。具体来说，你在某一天购买了 k 个糖果，那么你在这一天需要额外支付 k² 的费用。

那么问题来了，你最少需要多少钱才能达成自己的目的呢？

输入描述

第一行两个正整数n和m，分别表示天数以及糖果店每天生产的糖果数量。
接下来n行（第2行到第n+1行），每行m个正整数，第x+1行的第y个正整数表示第x天的第y个糖果的费用。

输出描述

输出只有一个正整数，表示你需要支付的最小费用。

样例

#1

3 2 
1 1
100 100 
10000 10000

107

#2

5 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1 
3 4 5 1 2 
4 5 1 2 3 
5 1 2 3 4

10

提示

• 对于100%的数据，1 ≤ n, m ≤ 300 , 所有输入的数均 ≤ 106。

解析

题目大意：求购买 n 颗糖果，保证每天必须吃一颗的前提下，所需要花至少多少钱购买这 n 可糖果。

题目虽然每天都可以生产很多糖果，但题目要求每天只需要吃一颗糖果，所以第 i 天总共所需要购买的糖果只需要 i 颗即可。

还要注意，题目说了每天必须吃一颗，因此第 1 天必须买糖果。

因为每天都可以生产很多糖果，购买的数量也不一定，例如第一天买2个，第二天不买，或者第一天买1个，第二天买1个。因此需要一个分割点 $k$ 来进行划分，来进行划分不同的购买情况。

而所求是价格最小，那么我们可以将糖果按价格从小到大排序。还可以对齐进行求前缀和。

DP 信息：

• 原问题：求购买 n 颗糖果，保证每天必须吃一颗的前提下，所需要花至少多少钱购买这 n 可糖果。
• 子问题：求某一天购买的糖果至少需要多少钱
• DP 定义：$dp[i][j]$ 表示第 i 天总共买了 j 颗糖果（j 是前些天累加的，而不是当天一次性买 j 个）
• DP 方程：$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+arr[i][j-k]+(j-k)\ast (j-k))$
• DP 初始化：$dp[i][j]=INF$ 、$dp[0][0]=0$

AC Code

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        final int MAX = 305;
        int[][] arr = new int[MAX][MAX];
        int[][] dp = new int[MAX][MAX];
        
        for(int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(dp[i], 1<<30);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) arr[i][j] = sc.nextInt();
            Arrays.sort(arr[i], 1, m+1); // 价格从小到大排序
            for(int j = 1; j <= m; j++) arr[i][j] += arr[i][j-1]; // 求前缀和
        }
        
        dp[0][0]=0;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) { // 天数
            // 总共买的数量刚好等于 n 即可（详细看解析）
            // i*m 是为了保证第一天的购买不会溢出 1*2=2 小于 n=3 √
            // n=3,m=2, 第一天若直接用 3，会导致生产不足，无法满足需求
            for(int j = i; j <= Math.min(n, i * m); j++) { // 总共需要购买的糖果数量
                for(int k = i - 1; k <= j; k++) { // 划分不同的购买情况
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i-1][k] + arr[i][j-k] + (j-k) * (j-k));
                }
            }
        }
        
        System.out.println(dp[n][n]);
    }
}

i = 1, j = 1;
  k = 0, dp[1][1] = dp[0][0] + arr[1][1] + 1^2; // 0+1+1
  k = 1, dp[1][1] = dp[0][1] + arr[1][0] + 0^2; // INF+0+0
i = 1, j = 2;
  k = 0, dp[1][2] = dp[0][0] + arr[1][2] + 2^2; // 0+2+4
  k = 1, dp[1][2] = dp[0][1] + arr[1][1] + 1^2; // INF+2+2
  k = 2, dp[1][2] = dp[0][2] + arr[1][0] + 0^2; // INF+0+0
i = 2, j = 2;
  // ...
// 以此类推...

i = 1, j = 1
  k = 0  dp[1][1] = dp[0][0] + M[1][1] + 1 * 1
  k = 1  dp[1][1] = dp[0][1] + M[1][0] + 0 * 0
i = 1, j = 2
  k = 0  dp[1][2] = dp[0][0] + M[1][2] + 2 * 2
  k = 1  dp[1][2] = dp[0][1] + M[1][1] + 1 * 1
  k = 2  dp[1][2] = dp[0][2] + M[1][0] + 0 * 0
i = 2, j = 2
  k = 1  dp[2][2] = dp[1][1] + M[2][1] + 1 * 1
  k = 2  dp[2][2] = dp[1][2] + M[2][0] + 0 * 0
i = 2, j = 3
  k = 1  dp[2][3] = dp[1][1] + M[2][2] + 2 * 2
  k = 2  dp[2][3] = dp[1][2] + M[2][1] + 1 * 1
  k = 3  dp[2][3] = dp[1][3] + M[2][0] + 0 * 0
i = 3, j = 3
  k = 2  dp[3][3] = dp[2][2] + M[3][1] + 1 * 1
  k = 3  dp[3][3] = dp[2][3] + M[3][0] + 0 * 0

在上面的过程中，解释一下 $k$

求 $dp[1][2]$ 第 1 天购买 2 个糖果：

第 0 天购买 0 个糖果，第 1 天购买 2 个糖果（第 1 天全买）

第 0 天购买 1 个糖果，第 1 天购买 1 个糖果（平分）

第 0 天购买 2 个糖果，第 1 天购买 0 个糖果（第 0 天全买）