Leetcode.878 第 N 个神奇数字

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Leetcode.878 第 N 个神奇数字 Rating ： 1898

题目描述

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 $n,a,b$ ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 $10^9+7$ 取模 后的值。

示例 1：

输入：n = 1, a = 2, b = 3
输出：2

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3
输出：6

提示：

• $1<=n<=10^9$
• $2<=a,b<=4\ast 10^4$

解法：二分 + 容斥原理

对于$k$ 个数($1-k$)，我们做出如下定义：

• 定义 $A$ 为能被 $a$ 整除的数，即 $k/a$；
• 定义 $B$ 为能被 $b$ 整除的数，即 $k/b$；
• 定义 $C$ 为既能被 $a$ 整除的数 ，也能被$b$ 整除的数，即 $k/lcm(a,b)$；

所以能被 $a$ 或者 $b$ 整除的数为：$total=A+B-C$。

我们通过 二分 的方式，求第一个 $total\ge n$ 的数即可。

二分的左区间 $l=2$；二分的右区间为 $r=n\ast min\{a,b\}$。

时间复杂度： $O(logn)$

C++代码：

const int MOD = 1e9+7;
using LL = long long;

class Solution {
public:
    int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
        LL lc = lcm<LL>(a,b);

        LL l = 2 , r = n * 1LL * min(a,b);
        while(l < r){
            LL mid = (l + r) >> 1;
            LL total = mid / a + mid / b - mid / lc;
            if(total >= n) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        return (int)(l % MOD);
    }
};