数据结构修炼第一篇：时间复杂度和空间复杂度
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第一章 时间复杂度和空间复杂度
第二章 顺序表，列表
第三章 栈和队列
第四章 二叉树
第五章 排序
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前言
一、算法的复杂度
二、时间复杂度的概念
大0渐进
作者：乐言
简介：大一学生，目前在致力于c/c++/python，高数的学习，有问题尽管问我，关注后私聊！
持续更新专栏：《c进阶》，《数据结构修炼》（优质好文持续更新中）
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前言
一、算法的复杂度
算法在编写成可执行程序之后，需要花费时间资源和空间资源，而这正式衡量一个算法好坏的标准之一。因此衡量一个算法的复杂度，通常是由这两方面决定的，即是时间复杂度和空间复杂度
时间复杂度主要指的是代码运行的快慢
空间复杂度主要指的是代码运行所耗费的内存
我们需要注意的是，在经过计算机的迭代发展后，计算机的储存容量已经达到了很高的程度，所以我们应该更加注意时间复杂度，空间复杂度已经并没有那么重要了
二、时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。
例如以下的代码：
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}当此时，我们明显可以发现count++执行了n^n+2*n+10次
n=10 N=130
n=100 N=10210
n=1000N=1002010
实际上我们计算时间复杂度的时候，并不需要如此精确，而是我们需要计算大概执行次数
我们通常使用大0渐进法
大0渐进
（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号
推导大O阶方法：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
- 使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
O(N^2)
此时，我们去掉了那些无关紧要的项，简洁明了的给出了执行次数
举例1：
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}当此时，时间复杂度就显得扑朔迷离了，我们无法知道M和N的大小关系，所以我们只能写成
O(M+N)
举例2：
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}当此时，我们明显的可以看出这显然是常数次，我们规定所有常数次都写成
O(1)
举例3：
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
// 计算Func3的时间该代码我们则可以明显看出执行了2n+10次，而根据刚刚所学，10对于2n来说显得微不足道，直接去掉即可，而当此时n趋向于无穷大时（可以这么理解），n的倍数也显得微不足道了，因此也可以不写，所以该代码的时间复杂度为：
O(N)
举例4：
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}当此时，冒泡排序的次数为n！，因此时间复杂度，不计算/2，不计算+-1，我们可以得出时间复杂度为:
O(N^2)
举例5
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}该代码为二分查找法，我们可以知道二分查找每次都/2
那么次数是n/2/2/2.........每次都缩小一半
二分查找的最坏情况：只剩下一个值一共查找了N次
则2^x=N
则x=log2N
当我们暴力查找的时候，需要查找N次，差别巨大，二分查找是一个十分牛犇的算法
则该代码的时间复杂度为：
O(log2N)
举例6：
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}该函数明显是递归实现
fac的函数被调用了n+1次，每次都是常数次，所以时间复杂度仍然是
O(N)
举例7：
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);这是一个斐波那契函数的递归，我们可以画图如下
二叉树的层数一直是乘以2，每个都是O(1)
所以该时间复杂度为等比数列
为：2^0 +2^1 +2^2 +2^3+..............+2^(N-2）=2（1-2^(N-1))/(1-2)
所以该函数的时间复杂度为：
O(2^N)
三：空间复杂度的概念
举例1：
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}此处end，exchange都是常数个，所以的空间复杂度都是
O(1)
举例2
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}此处malloc开辟了一个数组，由N+1个空间，所以空间复杂度为
O(N)
举例3：
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}此处涉及到函数栈帧的创建，如图所示：
每个栈帧为常数个，且有n个栈帧，则有空间复杂度为;
O(N)
举例4：
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}他的空间复杂度为
O(N)
函数递归的栈帧创建是往下创建的，再回来的时候会自动销毁，与原来的栈帧位于同一位置，所以该递归函数创建的栈帧仍然是N个，所以他的空间复杂度为：
O(N)
注意： 时间是不可以重复计算的
空间是可以重复使用的
我们在调试窗口的调用堆栈，逐语句可以看出函数的调用堆栈的进程
函数每次调用空间后销毁，并不是说这块空间不存在了，而是归还这块空间的使用权，内存是属于操作系统的，每次函数调用结束之后，会将空间的使用权归还，这块空间是永远存在的
类比：
进程 ------->垃圾桶
申请空间---------->扔垃圾
销毁内存----------->倒垃圾
越界/野指针----------->访问了不是属于自己的空间
四：常见复杂度的对比
而这些复杂度的复杂程度也相差很大：；
总结
本文主要讲解了时间复杂度和空间复杂度的内容，并且举例了例题讲解，需要老铁们继续加油，多做点题目积累，同时也希望大家多多支持，更多好文，敬请期待.........