距离度量 —— 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

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一、概述

曼哈顿街区熙熙攘攘，在高处向下望去，曼哈顿的建筑方方正正地排列在一条条街道上，仿佛一个个棋子排列在键盘上。

想要计算两个建筑之间的距离，我们不能横穿某个建筑，需要拐弯抹角，经过一个个十字路口，才能到达我们想要去的地方。

曼哈顿距离，也正是这个原理，不能像 绿线（/） 一样，横穿建筑，而是需要和其它三条线一样， 穿过大街小巷。

二、计算公式

① 二维平面上的曼哈顿距离

假设 二维平面 内有两点：$a(x_1,y_1)$ 与 $b(x_2,y_2)$

则二维平面的曼哈顿距离公式为：

$$d_{12}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$

例如上图的 $A(1,1)$ 与 $B(5,4)$，则 $AB$ 两点的距离为：

$$\begin{array}{rl}{d}_{AB}& =|5-1|+|4-1|\\ & =4+3\\ & =7\end{array}$$

② 三维空间上的曼哈顿距离

假设 三维空间 内有两点：$a(x_1,y_1,z_1)$ 与 $b(x_2,y_2,z_2)$

则三维空间的距离公式为：

$$d_{12}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|+|z_1-z_2|$$

举个例子，比如上图的 $A(1,2,3)$ 与 $B(6,3,5)$ 两点，计算 $AB$ 两点的曼哈顿距离为：

$$\begin{array}{rl}{d}_{AB}& =|6-1|+|3-2|+|5-3|\\ & =5+1+2\\ & =8\end{array}$$

③ n维空间上的曼哈顿距离

假设 n维空间 内有两点：$a(x_{11},x_{12},...,x_{1n})$ 与 $b(x_{21},y_{22},...,z_{2n})$

则n维空间的距离公式为：

$$d_{12}=\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|$$