第 100002(十万零二)个素数是多少？

题目描述

素数就是不能再进行等分的整数。比如7，11。而 9 不是素数，因为它可以平分为 3 等份。一般认为最小的素数是2，接着是 3，5，...
请问，第 100002(十万零二)个素数是多少？
请注意：“2” 是第一素数，“3” 是第二个素数，依此类推。
运行限制
最大运行时间：1s
最大运行内存: 128M

题目分析

对于这道题来说，难点在于运行时间只要1秒钟的问题

这个问题核心解决在于对素数的判定能不能够更快一点

先来看第一种，也是最慢的一种

第二种  稍微快一点

 

他确实也是快了一点点，但是可以帮我们解决问题吗？

确实能解决问题，但是运行的非常慢，时间复杂度是O(n)

 第三种，采用sqrt开根号的方式来继续这半找素数

这个方法比上面排查的数据更少

这个时间复杂度应该就是O(sqrt(n))

相对于上面的来说还是要快一点

第四种， 直接卡到x/i这个位置

我们还可以列举出更大的质数来进行测试

 每一个数都会除一下，基本上也是除到sqrt(x)这样一个位置

上面这道题基本上来说，就解决了。

知识拓展

讲一个查找20以内的所有素数，假定是查找到20，但是这个数据这个可能更大，这里我们用一种埃氏筛选法

来说一下原理

 这里贴一下测试代码

#include 
#include 

typedef long long ll;
//定义数组的大小
const int N = 10000000;//一千万个数据

int visit[N];//记录合数
int cnt=0;//与prime关联的一个游标
int prime[N];//记录质数

//找出到<= N这样一个素数的一个查找
void find_prime(int n)
{
	//外层循环，循环整体
	for(int i = 2;i <= n;i++) {
		//如果等于0的情况，就是一个质数
		if(!visit[i]) {
			prime[cnt++] = i;
			//它的倍数一定是一个合数,然后按步长增长
			for(ll j = i*i;j<=n;j+=i) {
				//全是合数
				visit[j] = 1;//相应的i就是1 
			}
		}
	}
}

int main()
{
	find_prime(20);
	for(int i = 0;i < cnt;i++) {
		printf("%d ",prime[i]); 
	}
	return 0;
}

下面在来说另外一种素数筛选方法

欧拉筛选也叫线性筛选法

用两句话来说明一下线性筛选法

第一：每一个合数都是被它的一个最小因子筛选掉的

第二：如果当前被筛选的是一个质数，那么质数*质数是可以筛选掉一部分合数，其实也是通过最小因子算出来的

第三：用已知的素数去筛选合数，避免重复筛选，避免重复筛选这个过程，就是一个位置，如果一旦被标记为合数之后，就不要重复标记为合数

一张图来说明一下线性筛选法

demo2.cpp

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

vector get_primes(int n) 
{
	vector primes;
	vector is_prime(n+1,true);//默认为true的情况下其实是为这质数的
	//下面开始循环
	for(int i = 2;i <= n;i++) {
		if(is_prime[i]) {
			primes.push_back(i);
		}
		for(int j = 0;j < primes.size() && i * primes[j] <= n;j++) {
			//只要有因子这个数标记为false
			is_prime[i * primes[j]] = false;
			//避免重复标记
			if(i % primes[j] == 0) {
				break;
			}
		}
	}
	return primes;//返回一个vector数组
}

int main()
{
	vector res = get_primes(20);
	//采用for循环的方式进行打印
	vector::iterator it_begin = res.begin();
	vector::iterator it_end = res.end();
	//采用for循环的方式
	for(it_begin;it_begin != it_end;it_begin++) {
		printf("%d ",*it_begin);
	}
	printf("\n-------------------\n");
	//这里说过prime可以看成一个数组
	for(int i = 0;i < res.size();i++) {
		printf("%d ",res[i]);//本身就可以当成数组对待
	}
	return 0;
}