每到临近毕业季的时候,这篇文章的关注就会突然增多。很开心能跟大家分享、讨论、共同进步;但也有很多伸手党问我要源文件,这里统一答复:没有。一是确实由于时间比较长,源文件找不到了;二是我用到的大部分代码(除了文中的target模块代码)都贴了出来,没必要再整个源文件,想复现的话照着做就一定能复现。所以请不要再问我能不能分享源文件了,当然别的问题可以一起交流讨论~
考虑平面运动机器人,自由度有3个,分别是 x , y , θ x,y,\theta x,y,θ,控制量为机器人的线速度 v v v和横摆角速度 ω \omega ω,希望实现机器人跟踪目标轨迹。
文章对控制算法原理进行简要介绍,最后有Matlab Simulink 实现
懒得画图,直接在网上找了个示意图。
运动学模型比较简单,直接给出结果
{ x ˙ = v cos ( θ ) y ˙ = v sin ( θ ) θ ˙ = ω \left \{\begin{array}{l} \dot{x}=v\cos(\theta)\\ \dot{y}=v\sin(\theta)\\ \dot\theta=\omega \end{array}\right. ⎩⎨⎧x˙=vcos(θ)y˙=vsin(θ)θ˙=ω
误差模型一般是定义在车体坐标系下,因此需要乘变换矩阵转化一下。
定义:全局坐标系下误差 x e = x r − x , y e = y r − y , θ e = θ r − θ x_e=x_r-x,y_e=y_r-y,\theta_e=\theta_r-\theta xe=xr−x,ye=yr−y,θe=θr−θ;局部坐标系误差 e 1 , e 2 , e θ e_1,e_2,e_{\theta} e1,e2,eθ。
其关系可表达为:
[ e 1 e 2 e θ ] = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ x e y e θ e ] \left[\begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ e_{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_e \\ y_e \\ \theta_e \end{array}\right] ⎣⎡e1e2eθ⎦⎤=⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡xeyeθe⎦⎤
对其求导,整理为误差模型
{ e ˙ 1 = ω e 2 − v + v r cos e θ e ˙ 2 = − ω e 1 + v r sin e θ e ˙ θ = ω r − ω \left\{\begin{array}{l} \dot{e}_{1}=\omega e_{2}-v+v_{r} \cos e_{\theta} \\ \dot{e}_{2}=-\omega e_{1}+v_{r} \sin e_{\theta} \\ \dot{e}_{\theta}=\omega_{r}-\omega \end{array}\right. ⎩⎨⎧e˙1=ωe2−v+vrcoseθe˙2=−ωe1+vrsineθe˙θ=ωr−ω
对移动机器人的运动学模型而言,实现轨迹跟踪控制便是寻找合适的线速
度 v v v 和角速度 ω \omega ω ,并将 v v v 和 ω \omega ω 作为控制输入,使得系统的位姿误差 e = [ e 1 e 2 e 3 ] T e=[e_1~ e_2 ~e_3]^T e=[e1 e2 e3]T能够保持有界,且当 t → ∞ t \rightarrow \infty t→∞ 时 , ∥ e ∥ = 0 \quad\|e\|=0 ∥e∥=0恒成立
误差模型为非线性模型,可以通过将其线性化的方式然后用线性化控制理论处理,但此类方法的鲁棒性不高。这里直接采用非线性控制器的设计方法-反步法。反步法的核心是基于Lyapunov稳定性定理,将复杂的系统分解为几个子系统,然后依次设计控制律使子系统稳定,进而保证整个系统稳定。
定义虚拟反馈变量 e 1 ˉ \bar{e_1} e1ˉ
e 1 ˉ = e 1 − k 1 e 2 ( ω 1 + ω 2 ) \bar{e_1}=e_1-k_1e_2(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}}) e1ˉ=e1−k1e2(1+ω2ω)
选取Lyapunov函数 V y V_y Vy
V y = 0.5 e 2 2 V_y=0.5e_2^2 Vy=0.5e22
其导数为:
V y ˙ = e 2 ( − ω e 1 + v r sin e θ ) \dot{V_y}=e_{2}\left(-\omega e_{1}+v_{r} \sin e_{\theta}\right) Vy˙=e2(−ωe1+vrsineθ)
当 e 1 → k 1 e 2 ( ω 1 + ω 2 ) e_1 \rightarrow k_1e_2(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}}) e1→k1e2(1+ω2ω)且 e θ → 0 e_{\theta} \rightarrow 0 eθ→0时
V y ˙ = − k 1 ω ( ω 1 + ω 2 ) e 2 2 ≤ 0 \dot{V_y}=-k_{1} \omega (\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}}) e_{2}^{2} \leq 0 Vy˙=−k1ω(1+ω2ω)e22≤0
由Lyapunov定理可得, t → ∞ t \rightarrow \infty t→∞时, e 2 → 0 e_2 \rightarrow 0 e2→0(PS:这里的证明不太严谨,更加严谨的证明请参阅参考文献)。
因此下一步的目标则是,设计控制量 v 和 ω v和\omega v和ω, 使得 lim t → ∞ e 1 = k 1 e 2 ( ω 1 + ω 2 ) \lim _{t \rightarrow \infty} e_{1}=k_1e_2(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}}) limt→∞e1=k1e2(1+ω2ω) 即 lim t → ∞ e ˉ 1 = 0 \lim _{t \rightarrow \infty} \bar{e}_{1}=0 limt→∞eˉ1=0 且 lim t → ∞ e θ = 0 \lim _{t \rightarrow \infty} e_{\theta}=0 limt→∞eθ=0。
选取系统Lyapunov函数:
V = 1 2 e ˉ 1 2 + 1 2 e 2 2 + 2 k 2 ( 1 − cos e θ 4 ) V=\frac{1}{2} \bar{e}_{1}^{2}+\frac{1}{2} e_{2}^{2}+\frac{2}{k_{2}}\left(1-\cos \frac{e_{\theta}}{4}\right) V=21eˉ12+21e22+k22(1−cos4eθ)
对其求导,并化简有:
V ˙ = e 1 ˉ e 1 ˉ ˙ + e 2 e ˙ 2 + 1 k 2 sin ( θ e 2 ) θ ˙ e = e 1 ˉ ⋅ [ − v + v r cos θ e − k 1 ω ˙ e 2 ( 1 + ω 2 ) 3 2 − k 1 ω 1 + ω 2 ( − ω e 1 + v r sin θ e ) ] − k 1 e 2 2 ω 2 1 + ω 2 + 1 k 2 sin ( θ e 2 ) ( ω r − ω + 2 k 3 e 2 v r cos ( θ e 2 ) ) \begin{aligned} &\dot{V}=\bar{e_1} \dot{\bar{e_1}}+e_{2} \dot{e}_{2}+\frac{1}{k_{2}} \sin \left(\frac{\theta_{e}}{2}\right) \dot{\theta}_{e} \\ &=\bar{e_1} \cdot\left[-v+v_{r} \cos \theta_{e}-\frac{k_{1} \dot{\omega} e_{2}}{\left(1+\omega^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right. \left.-\frac{k_{1} \omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\left(-\omega e_{1}+v_{r} \sin \theta_{e}\right)\right]-k_{1} e_{2}^{2} \frac{\omega^{2}}{\sqrt{1+\omega^{2}}} \\ &+\frac{1}{k_{2}} \sin \left(\frac{\theta_{e}}{2}\right)\left(\omega_{r}-\omega+2 k_{3} e_{2} v_{r} \cos \left(\frac{\theta_{e}}{2}\right)\right) \end{aligned} V˙=e1ˉe1ˉ˙+e2e˙2+k21sin(2θe)θ˙e=e1ˉ⋅[−v+vrcosθe−(1+ω2)23k1ω˙e2−1+ω2k1ω(−ωe1+vrsinθe)]−k1e221+ω2ω2+k21sin(2θe)(ωr−ω+2k3e2vrcos(2θe))
这里化简需要用到一些三角函数代换,比如 sin e θ = 4 sin e θ 4 cos e θ 4 cos e θ 2 \sin e_{\theta}=4 \sin \frac{e_{\theta}}{4} \cos \frac{e_{\theta}}{4} \cos \frac{e_{\theta}}{2} sineθ=4sin4eθcos4eθcos2eθ。
为保证 V ˙ \dot{V} V˙负定,因此取控制律为
{ v = v r cos e θ + k 1 ( ω 1 + ω 2 ) ω e 1 − k 1 v r ( ω 1 + ω 2 ) sin e θ − k 1 ω ˙ e 2 ( 1 + ω 2 ) 3 2 + k 2 ( e 1 − k 1 ( ω 1 + ω 2 ) e 2 ) ω = ω r + 2 k 3 e 2 v r cos e θ 2 + k 4 sin e θ 2 \left\{\begin{aligned} v=& v_{r} \cos e_{\theta}+k_{1}\left(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\right) \omega e_{1}-k_{1} v_{r}\left(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\right) \sin e_{\theta} \\ &-\frac{k_{1} \dot{\omega} e_{2}}{\left(1+\omega^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+k_{2}\left(e_{1}-k_{1}\left(\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}}\right) e_{2}\right) \\ \omega=& \omega_{r}+2 k_{3} e_{2} v_{r} \cos \frac{e_{\theta}}{2}+k_{4} \sin \frac{e_{\theta}}{2} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧v=ω=vrcoseθ+k1(1+ω2ω)ωe1−k1vr(1+ω2ω)sineθ−(1+ω2)23k1ω˙e2+k2(e1−k1(1+ω2ω)e2)ωr+2k3e2vrcos2eθ+k4sin2eθ
其中, k 1. k 2. k 3. k 4 k1.k2.k3.k4 k1.k2.k3.k4均为正常数。
在Simuklink 依据车体运动学模型建立车体运动子系统,依据上面的控制律设计控制器。
target给出目标位姿,controller给出控制量。
function y = controller(u)
%u分别为全局坐标系下车体位姿误差和车体横摆角
%y为车体线速度和角速度
%目标速度
vr=1;wr=1;
%将世界坐标系下的误差转化至车体坐标下
e1=cos(u(4))*u(1)+sin(u(4))*u(2);
e2=-sin(u(4))*u(1)+cos(u(4))*u(2);
etheta=u(3);
%反步法设计控制律
% k1=1;k2=20;k3=20;k4=2;
% e1_bar=e1-k1*e2;
% omega=k2*e2*vr*cos(etheta/2)*cos(etheta/4)+k4*sin(etheta/4)+wr;
% v=vr*cos(etheta)+k3*e1_bar;
%反步法设计控制律2
% k1=0.01;k2=16;k3=4;k4=16;
% omega=k2*e2*vr*cos(etheta/2)*cos(etheta/4)+k4*sin(etheta/4)+wr;
% e1_bar=e1-k1*atan(omega)*e2;
% vrdot=0;
% wrdot=0;
% omega_dot=k2*((-omega*e1+vr*sin(etheta))*vr+e2*vrdot)*cos(etheta/2)...
% *cos(etheta/4)-(k2*e2*vr*sin(etheta/4)*(0.5+0.75*cos(etheta/2))-0.25*k4*cos(etheta/4))...
% *(wr-omega)+wrdot;
% v=vr*cos(etheta)-k1*e2/(1+omega^2)*omega_dot-k1*atan(omega)*(-omega*e1+vr*sin(etheta))+k3*e1_bar;
%反步法设计控制律3
k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10;
omega=2*k3*e2*vr*cos(etheta/2)+k4*sin(etheta/2)+wr;
%e1_bar=e1-k1*(omega/(1+omega^2)^0.5)*e2;
vrdot=0;
wrdot=0;
omega_dot=2*k3*((-omega*e1+vr*sin(etheta))*vr+e2*vrdot)*cos(etheta/2)-k3*e2*vr*sin(etheta/2)*(wr-omega)...
+0.5*k4*cos(etheta/2)*(wr-omega)+wrdot;
v=vr*cos(etheta)+k1*omega*e1*(omega/(1+omega^2)^0.5)-k1*vr*sin(etheta)*(omega/(1+omega^2)^0.5)...
-k1*omega_dot*e2/(1+omega^2)^1.5+k2*(e1-k1*e2*(omega/(1+omega^2)^0.5));
%限制输出
if abs(v)>5
v=sign(v)*5;
end
if abs(omega)>5
omega=sign(omega)*5;
end
y = [v omega];
%y =[1 0];
几个参数需要自己调,这里的仿真结果用到的参数为 k 1 = 0.1 ; k 2 = 50 ; k 3 = 150 ; k 4 = 10 ; k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10; k1=0.1;k2=50;k3=150;k4=10;。
图例从上至下依次是 x e , y e , θ e x_e,y_e,\theta_e xe,ye,θe。小车的初始位置为(0,0,0);目标点的初始位置为(1,0,0),跟踪半径为 1 m 1m 1m的圆形轨迹,线速度为 1 m / s 1m/s 1m/s。
关于反步法里虚拟变量为什么要设置成 e 1 − k 1 e 2 ( ω / 1 + ω 2 ) e_1-k_1e_2(\omega/\sqrt{1+\omega^2}) e1−k1e2(ω/1+ω2),我个人的理解原因是:引入 − k 2 e 2 -k_2e_2 −k2e2项可以使得 V ˙ ( e 2 ) < = 0 \dot{V}(e2)<=0 V˙(e2)<=0,说白了就是通过试凑使其变为负定,引入 ω / 1 + ω 2 \omega/\sqrt{1+\omega^2} ω/1+ω2是为了更快的收敛,同时增加稳定性,当然可以选用其他形式,也可以不选,设置为1,不过控制效果没有上文中的好。(大家有什么其他的想法欢迎一起讨论)
英文好的建议直接看英文的,写的更清楚简洁。
Hao, Y., Wang, J., Chepinskiy, S. A., Krasnov, A. J., & Liu, S. (2017). Backstepping based trajectory tracking control for a four-wheel mobile robot with differential-drive steering. 2017 36th Chinese Control Conference (CCC). doi:10.23919/chicc.2017.8028131
路少康. 轮式移动机器人轨迹跟踪控制[D].西安电子科技大学,2020.