二分查找 【模板+中间值问题】

前言

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。它要求元素具有有序性，或者具有跟有序性类似的性质，能够不断地缩小查找范围。

查找操作主要有一下几点：

1、确定需要查找的值，设立基准值（一般是中间值），设立判断条件，判断基准值是否满足某种性质

2、以基准值为边界，划分左右两个区间

3、根据判断条件是否成立，分析结果可能存在的区间，更新查找范围

4、重复以上操作，直到区间不存在（左边界大于右边界）或查找到需要的值时，查找结束

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二分查找动图演示

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代码模板

我们这里以整数的有序序列为例，演示二分查找的代码和需要注意的事项。整数二分的代码分为两种情况：

1. 判断条件成立时新区间需要更新在左半区间，即[l, mid]

2. 判断条件成立时新区间需要更新在右半区间，即[mid, r]

需要注意的是不管哪种情况，条件成立都需要将取到mid，因为mid可能为答案

bool check(int x) {/* ... */} // 检查答案是否满足某种性质

// 查找左区间
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：条件成立，新区间在[l, mid]
int SearchLeft(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

// 查找右区间
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：条件成立，新区间在[mid, r]
int SearchRight(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

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❗️ 使用哪个模板问题 ❗️

决定使用哪个模板，是根据check(mid)来决定的:

check(mid)就是判断答案在左半区间还是右半区间

1、如果check(mid)是判断答案在左半区间，使用SearchLeft模板（mid不需要+1)：

如果在条件成立，说明答案在左半区间，也就是[l, mid]，新区间为[l, mid]，区间更新方式为r = mid。
如果条件不成立，说明答案在右半区间，也就是[mid + 1, r]，新区间为[mid + 1, r]，区间更新方式为l = mid + 1。

2、如果check(mid)是判断答案在右半区间，使用第二个模板（mid需要+1)：

如果在条件成立，说明答案在右半区间，也就是[mid, r]，新区间为[mid, r]，更新条件为l = mid。
如果条件不成立，说明答案在左半区间，也就是[l, mid - 1]，新区间为[l, mid - 1]，更新条件为r = mid - 1。

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mid为何+1问题

在这两种情况中，区间划分好理解，不就是一左一右、一加一减嘛。但是在mid为何需要加1可能会让很多人疑惑，我在学习的时候也是迷糊了好久。现在将从大佬那里总结到的经验分享一下：

1、在SearchLeft 中 mid 为何不需要 +1

设左右两个边界只相差1，即l = r - 1时，如果 mid + 1，mid 向下取整 ，即mid == r ，如果条件刚好成立的话，就会导致更新完区间后r还是等于mid，等于没有更新，这时候就是一个死循环了。所以mid 不需要 +1，进行向上取整，让mid == l，破坏死循环的条件。

2、在SearchRight中mid为何需要 +1

设左右两个边界只相差1，即l = r - 1时，当mid不 +1 时mid是向上取整的，所以mid == l，如果条件刚好成立的话，就会导致更新完 区间后l还是等于mid，等于没有更新，这时候就是一个死循环了。所以需要mid+1进行向下取整，让mid == r，破坏死循环的条件。

大佬原话：

对于mid + 1与否我觉得是为了让区间平分
mid = left + right >> 1; 这里mid是上中位数
mid = left + right + 1 >> 1; 这里mid是下中位数
如果取left = mid, 即[mid, right], 则mid取下中位数才能平分区间
如果取right = mid, 即[left, mid], 则mid取上中位数才能平分区间

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完结散花