【LeetCode: 300. 最长递增子序列 | 暴力递归=＞记忆化搜索=＞动态规划】

算法题

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算法题

题目链接

• 300. 最长递增子序列

⛲ 题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104

求解思路&实现代码&运行结果

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⚡ 暴力递归1

求解思路

1. 根据题目的意思，让我们求得最长递增子序列的长度是什么，我们可以设计这样一个递归函数，从某一个位置开始，如果当前选择的数字是大于我们之前选择的数字的，那么我们记录长度的变量++，否则，进行下一个位置的判断，之前选择的数不变，记录长度的也不变。
2. 接下来我们来看一下具体代码的实现。

实现代码

class Solution {
    
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        return process(0,nums,0,Integer.MIN_VALUE);
    }

    public int process(int index,int[] nums,int cnt,int pre){
        if(index==nums.length){
            return cnt;
        }
        int max=Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=index;i<nums.length;i++){
            if(nums[i]>pre){
                max=Math.max(max,process(i+1,nums,cnt+1,nums[i]));
            }else{
                max=Math.max(max,process(i+1,nums,cnt,pre));
            }
        }
        return max;
    }
}

运行结果

时间超限，使我们期待的结果！！！

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⚡ 暴力递归2

求解思路

1. 上面虽然实现了一个递归版本的题解，时间超限了，是我们期待的结果，但是并不是一个好的递归版本，因为状态参数太多了，不方便都维护。
2. 接下来我们就再来想一想，还有没有可能设计一个更好的递归函数呢？
3. 我们可以设计这样一个递归函数，以当前index位置为结尾，递归函数中每次从0到index-1的位置进行选择，如果存在元素小于当前index位置的元素，继续递归调用，下一个位置从当前小于index位置开始，重复该过程，直至结束。
4. 我们可以看到，这个递归函数比起我们上面设计的递归函数精简不少，接下来我们就来一起看一下具体的实现。

实现代码

class Solution {
    
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int max=Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            max=Math.max(max,process(i,nums));
        }
        return max;
    }

    public int process(int index,int[] nums){
        if(index==nums.length){
            return 0;
        }
        int max=1;
        for(int i=0;i<index;i++){
            if(nums[i]<nums[index]){
                max=Math.max(max,process(i,nums)+1);
            }
        }
        return max;
    }
}

运行结果

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⚡ 记忆化搜索

求解思路

1. 根据我们递归的分析，在递归的过程中会产生重复的子过程，所以我们想到了加一个缓存表，也就是我们的记忆化搜索。

实现代码

class Solution {
    
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int max=Integer.MIN_VALUE;
        int n=nums.length;
        int[] dp=new int[n];
        Arrays.fill(dp,1);
        for(int i=0;i<n;i++){
            max=Math.max(max,process(i,nums,dp));
        }
        return max;
    }

    public int process(int index,int[] nums,int[] dp){
        if(index==nums.length){
            return 0;
        }
        if(dp[index]!=1) return dp[index];
        int max=1;
        for(int i=index;i<nums.length;i++){
            if(nums[i]>nums[index]){
                max=Math.max(max,process(i,nums,dp)+1);
            }
        }
        return dp[index]=max;
    }
}

运行结果

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⚡ 动态规划

求解思路

1. 按照我们之前递归和记忆化搜索的思路，通过动态规划实现出来。

实现代码

class Solution {
    
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        int[] dp=new int[n];
        int max=0;
        Arrays.fill(dp,1);
        for(int index=n-1;index>=0;index--){
            for(int i=index;i<n;i++){
                if(nums[i]>nums[index]){
                    dp[index]=Math.max(dp[index],dp[i]+1);
                }
            }
            max=Math.max(max,dp[index]);
        }
        return max;
    }
}

运行结果

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⚡ 动态规划 + 二分查找

求解思路

1. 因为题目要我们查找的是递增子序列，也就是元素按照严格递增排列的，所以我们可以想到使用二分来进行优化。
2. 我们将每次查找的结果放到开辟的数组空间中，具体怎么做呢？
3. 我们可以每次遍历我们nums中的数字x，然后在收集数组的区间内进行查找大于当前x做左侧的位置，最后将该位置设置为x；
4. 如果此时查找的边界到达了我们此时数组下标位置，说明此时该元素是大于数组中所有元素的，此时数组下标位置继续向右移动。

实现代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        int res = 0;
        for (int x : nums) {
            int left = -1, right = res;
            while(left+1 < right){
                int mid = left + ((right - left) >> 1);
                if(dp[mid] < x){
                    left = mid;
                }else{
                    right = mid;
                }
            }
            dp[right] = x;
            if(right == res){
                res++;
            }
        }
        return res;
    }
}

运行结果

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共勉

最后，我想送给大家一句一直激励我的座右铭，希望可以与大家共勉！