B树 B+树（多路查找树）的介绍、插入和删除操作

多路查找树

是一类特殊的树形结构，其每个节点可以包含多个关键字和对应的指针，相比于二叉查找树，可以更高效地进行查找操作。

常见的多路查找树

B树和B+树
其中B树是一种自平衡的多路查找树，其每个节点可以包含多个关键字和对应的指针，且满足以下性质：多路查找树是一类特殊的树形结构，其每个节点可以包含多个关键字和对应的指针，相比于二叉查找树，可以更高效地进行查找操作。

常见的多路查找树包括B树和B+树。
其中B树是一种自平衡的多路查找树，其每个节点可以包含多个关键字和对应的指针
且满足以下性质：

• 根节点至少有两个子节点。
• 每个节点有k个关键字，则该节点有k+1个子节点。
• 所有叶子节点位于同一层，且不存储数据。
• 每个非叶子节点至少有 ⌈m/2⌉ 个子节点（向上取整），最多有m个子节点。

• B树插入操作

插入操作的基本思路是：

首先在B树中查找插入位置，如果关键字已存在，则直接返回。
插入关键字到叶子节点，如果该节点满了，则需要进行节点分裂操作。
分裂完成后，递归向上调整B树的结构，保证B树的平衡性。
下面是B树插入操作的伪代码：

B-Tree-Insert(T, k):
    if the root is full:
        create a new root
        split the old root into two children
        set the new root as the parent of the two children
        insert k into the appropriate child
    else:
        B-Tree-Insert-Nonfull(root, k)

B-Tree-Insert-Nonfull(x, k):
    if x is a leaf node:
        insert k into x
    else:
        find the appropriate child of x to descend to
        if the child is full:
            split the child into two children
            find the appropriate child of x to insert k into
        B-Tree-Insert-Nonfull(child, k)

B树删除操作

删除操作的基本思路是：

首先在B树中查找删除位置，如果关键字不存在，则直接返回。
如果待删除节点不是叶子节点，则需要寻找待删除节点的后继节点，将其关键字替换到待删除节点中。
删除后继节点，如果该节点太小，则需要进行节点合并操作。
合并完成后，递归向上调整B树的结构，保证B树的平衡性。
下面是B树删除操作的伪代码：

B-Tree-Delete(T, k):
    if the root is empty:
        return
    B-Tree-Delete-Nonempty(root, k)

B-Tree-Delete-Nonempty(x, k):
    if k is in x:
        if x is a leaf node:
            delete k from x
        else:
            find the successor of k in the subtree rooted at x
            replace k with its successor
            B-Tree-Delete-Nonempty(successor, k)
    else:
        find the appropriate child of x to descend to
        if the child is too small:
            if the right sibling has more than the minimum number of keys:
                rotate right
            else:
                merge with the right sibling
        B-Tree-Delete-Nonempty(child, k)

B+ 树

B+树是在B树的基础上进一步优化而来的一种多路查找树，它与B树的区别在于只有叶子节点存储数据，内部节点仅存储关键字和指向子节点的指针。同时，B+树的叶子节点之间使用链表相互连接，方便范围查找。

使用多路查找树的优点是可以大幅度减少查找操作的时间复杂度，尤其是在数据量较大时。但是，相比于二叉查找树，多路查找树的实现更为复杂，且节点的大小也更大，占用更多的存储空间。

多路查找树是一种数据结构，可以用于实现动态查找表。它和二叉查找树不同的地方在于，它允许一个节点有多个子节点。

在多路查找树中，每个节点有以下部分组成：

关键字：节点所代表的值。
子节点：指向其他节点的指针。
常见的多路查找树有B树、B+树、B*树等。下面以B树为例，介绍如何插入和删除操作。