一维差分思想【算法推导、深刻思考】

797. 差分 - AcWing题库

差分本质上就是前缀和的逆运算

算法推导

其实在最开始自己去完成这个题目的时候，感觉好像是可以往前缀和方向靠的，但是一下子没有想到实现方法就无疾而终了。所以最后选择的算法就只是单纯的暴力（虽然知道过不了，但是起码实现一下）

暴力代码

#include

using namespace std;

const int N = 100008;

int a[N] , b[N];

int main(){
    int n , m;
    cin >> n >> m;
  
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        cin >> a[i];
    }
  
    int l , r , c;
    while(m --){
        cin >> l >> r >> c;
      
        for(int i = l ; i <= r ; i ++){
            b[i] += c;
        }
    }
  
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        cout << a[i] + b[i] << " ";
    }
    return 0;
}

这样子的话时间复杂度会花费

• N个输入时间

• 最多N * N个处理b[i]数组

  因为有m个处理请求（而m最大和N差不多）

• N个输出时间

所以这里的时间复杂度将是O(n^2^)，必然是需要优化的

能处理哪里？

输入和输出的时间时不可避免的，唯一可以处理的就是如何更快速的完成[ l , r ]区间内加上c的操作

优化处理操作

我们可以构造一个数组b使得a [i] 是b的前缀和，那么b数组就称a数组的差分

也就是a[3] = b1 + b2 + b3

• b₁ = a₁
• b₂ = a₂ - a₁
• b₃ = a₃ - a₂

所以，我们只需要求b数组的前缀和就能得到a[i]

若此时我们拥有B数组，那么只需要O(n)的时间就可以得到A（操作后的）

重新理解一下题意

题目要求我们对A数组[ l , r ]区间内，每一个都加上c。

即a_i + c，a_i+1 +c ,…，a~i + r - l~ + c

如果我们使用差分，我们可以使用O(1)的时间复杂度实现

因为A数组是B数组的前缀和，所以我们让B_left + c后，那么A_left 后面的每一位都将加上c

为什么呢？

因为A数组是B数组的前缀和（a2 = b2 + b1、a3 = b3 + b2 + b1），所以在A_left之后，所有的值都将加上c

但是这样显然是不行的，因为我们只是需要在[ l , r ]上加上c，所以我们需要在某一个位置进行-r。

在哪个位置呢？

在left开始的位置让数组都加上一个c

在right + 1开始的位置后面都减去一个c

所以这里我们就可以用O(1)的时间复杂度处理数据了

代码模板

#include

using namespace std;

const int N = 100008;

int a[N] , b[N];

void insert(int l , int r , int c){
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main(){
    int n , m ;
  
    cin >> n >> m ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        cin >> a[i];
        insert(i , i , a[i]);
    }

    int l , r , c;
    while(m --){
        cin >> l >> r >>c;
      
        insert(l , r , c);
    }
  
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        b[i] += b[i - 1];
        cout << b[i] << " ";
    }
    return 0;
}

其实，这里在代码中并没有很显然的表示 A，B两个数组

b[i] += b[i - 1];就是将B数组变成自己的前缀和——其实也就是我们上面推导公式所说的A数组（前缀和）

问题一：为什么要在输入的时候执行Insert操作？

其实要解释的就是为什么要执行b[r + 1] -= c;

我们可以完整的执行一遍操作理解，首先假设就是需要执行，我们模拟一遍

输入第一个数1，得到这样一个数组

继续输入后，最后得到

开始执行插入操作 [ 1 , 3 ]都需要 +1

我们计算一下这个前缀和的结果

• A1：（1+1）+0 = 2
• A2：A1 + 1 = 3
• A3：A2 + (-1) = 2

我们尝试带回原数组看看结果是否一致，处理1 2 2 1 2 1，在1~3的位置+1，结果就是2 3 2，结果是对的

为什么呢？

其实我们仔细去看之前的原始推导式就不能发现，我们是希望在[ l , r ]区间上都加上c，但是如果只在左侧加上，那么后面都会加上c，所以我们需要在r + 1处 -c才能保证结果一致

假设我就是不加，那意义是什么呢？

那就将导致从[ l , n ]都执行 +c操作，后面的数据将会越来越大（因为后面我们的输出是以前缀和形式输出的）

问题二：为什么要以前缀和的形式输出呢？也就是为什么要执行b[i] += b[i - 1];呢？

• 因为在开始处理b数组时，我们有对b [ r + 1] 进行-c处理，就是为了保证以前缀和的形式输出！
• 为了将[ l , r ]的处理以O(1)时间复杂度完成，而不是通过循环（这里就需要用到前缀和的思想，先将每一次的操作存起来，不修改原始数组，后面全部加起来就可以得到结果）