GAT的基础理论

GAT原理（理解用）

引入：

GCN的缺点：

1. 无法完成inductive任务，即处理动态图问题。inductive任务是指：训练阶段与测试阶段需要处理的graph不同。通常是训练阶段只是在子图（subgraph）上进行，测试阶段需要处理未知的顶点。（unseen node）
2. 处理有向图的瓶颈，不容易实现分配不同的学习权重给不同的neighbor。

GAT：重点在获取其余节点对本节点的影响上。GAT本质上有两种运算方式，

• mask graph attention：注意力机制的运算只在邻居顶点上进行。目前常用方式。

• global graph attention：每一个顶点 $i$ 都对于图上任意顶点都进行attention运算

优点：完全不依赖于图的结构，对于inductive任务无压力
缺点：（1）丢掉了图结构的这个特征，无异于自废武功，效果可能会很差（2）运算面临着高昂的成本

GAT工作流程

计算注意力系数（attention coefficient）

1. 对于顶点 $i$， 逐个计算它的邻居节点 $j$ 和它的相关系数：$$e_{i,j}=score([W{h}_i||W{h}_j]),j\in N_i$$

   • W：共享参数W的线性映射对于顶点的特征进行了增维，这是一种常见的特征增强方法。
   • ||：对于顶点 $i,j$的变换后的特征进行了concat拼接
   • score：score函数将拼接后的高维特征映射到一个实数上

2. 根据相关系数，计算注意力系数：$${\alpha }_{i,j}=\frac{exp(LeakyReLU(e_{i,j}))}{{\sum }_{k\in N_i}exp(LeakyReLU(e_{ik}))}$$

加权求和（aggregate）

1. 对于每个顶点，GAT输出为融合了邻域信息的新特征：$$h_i^{\prime }=\sigma (\sum _{j\in N_i}{\alpha }_{i,j}W{h}_j)$$

2. 为了获得更多的信息，可以使用多头注意力机制：$$h_i^{\prime }(K)=conca{t}_{k=1}^K[\sigma (\sum _{j\in N_i}{\alpha }_{i.j}^k{W}^k{h}_j)]$$ $$其中，K为多头注意力的头数$$

   特别地，如果是在网络的最终（预测或分类）层，那么concat拼接操作不再是明智的——相反，使用平均就可以解决分类问题，具体公式如下：
   $$h_i^{\prime }=\sigma (\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K\sum _{j\in N_i}{\alpha }_{i,j}^k{W}^k{h}_j)$$
   $$其中，K为多头注意力的头数$$

GAT深入理解

1. 与GCN的联系与区别

   本质上而言：GCN与GAT都是将邻居顶点的特征聚合到中心顶点上（一种aggregate运算），利用graph上的local stationary学习新的顶点特征表达。不同的是GCN利用了拉普拉斯矩阵，GAT利用attention系数。一定程度上而言，GAT会更强，因为顶点特征之间的相关性被更好地融入到模型中。

2. 为什么GAT适用于有向图

   GCN 假设图是无向的，因为利用了对称的拉普拉斯矩阵 (只有邻接矩阵 A 是对称的，拉普拉斯矩阵才可以正交分解)，不能直接用于有向图。 GCN 的作者为了处理有向图，需要对 Graph 结构进行调整， 要把有向边划分成两个节点放入 Graph 中 。例如 e1、e2 为两个节点，r 为 e1，e2 的有向关系，则需要把 r 划分为两个关系节点 r1 和 r2 放入图中。连接 (e1, r1)、(e2, r2)。

   GAT能处理有向图最根本的原因是它的运算方式是逐顶点的运算（node-wise），这一点可从上面的所有公式中很明显地看出。每一次运算都需要循环遍历图上的所有顶点来完成。逐顶点运算意味着，摆脱了拉普拉斯矩阵的束缚，使得有向图问题迎刃而解。

3. 为什么GAT适用于inductive任务（动态图问题）

   GAT中重要的学习参数是 W 与 score函数，因为上述的逐顶点运算方式，这两个参数仅与顶点特征相关，与图的结构毫无关系。所以测试任务中改变图的结构，对于GAT影响并不大。

   与此相反的是，GCN是一种全图的计算方式，一次计算就更新全图的节点特征。学习的参数很大程度与图结构相关，这使得GCN在inductive任务上遇到困境。

GAT的实用基础理论（编代码用）

1. GAT的底层实现（pytorch）

PyG中的GATConv实现

论文中的方法：
$$e_{i,j}=score([W{h}_i||W{h}_j]),j\in N_i$$
$${\alpha }_{i,j}=\frac{exp(LeakyReLU(e_{i,j}))}{{\sum }_{k\in N_i}exp(LeakyReLU(e_{ik}))}$$
$$h_i^{\prime }=\sigma (\sum _{j\in N_i}{\alpha }_{i,j}W{h}_j)$$

PyG中实现方法：
$$e_{i,j}=score([W_1{h}_i||W_2{h}_j]),j\in N_i\cup \{i\}$$
$$具体实现方法为：e_{i,j}=a^T[W_1{h}_i||W_2{h}_j],j\in N_i\cup \{i\}$$
$${\alpha }_{i,j}=\frac{exp(LeakyReLU(e_{i,j}))}{{\sum }_{k\in N_i\cup \{i\}}exp(LeakyReLU(e_{ik}))}$$

$$h_i^{\prime }={\alpha }_{i,i}{W}_1{h}_i+\sum _{j\in N(i)}{\alpha }_{i,j}{W}_2{h}_j$$

区别：

1. PyG求score时，对target节点（即$h_i$）和source节点（即$h_j$）使用了不同的参数 $W$。
2. PyG求score时，对target节点使用的$a^T$和source节点使用的$a^T$也不相同，公式中为了简便就没有体现。
3. PyG求score时，j的取值范围包括自己，即$j\in N_i\cup \{i\}$
4. PyG求注意力分数时，PyG中的实现方法分母中求和的集合多了一个自身，即${\sum }_{k\in N_i\cup \{i\}}$
5. PyG中最后聚合的时候同样对自身和邻域节点分别进行了加权求和。

• init函数

  参数说明：

  • in_channels: Union[int, Tuple[int, int]]：输入原始特征或者隐含层embedding的维度。如果是-1，则根据传入的x来推断特征维度。注意in_channels可以是一个整数，也可以是两个整数组成的tuple，分别对应source节点和target节点的特征维度。

  • source节点： 中心节点的邻居节点。$\{x_j,\forall j\in N(i)\}$
  • target节点：中心节点。$x_i$
  • in_channels[0]：参数$W_2$的shape[0]，对应source节点（邻域节点）的特征维度
  • in_channels[1]：参数$W_1$的shape[0]，对应target节点（目标节点）的特征维度

  • out_channels：输出embedding的维度
  • heads：表示注意力头数，默认为1
  • concat：表示multi-head输出后的多个特征向量的处理方法是否需要拼接，默认为True
  • negative_slope：采用leakyRELU的激活函数，x的负半平面斜率系数，默认为0.2
  • dropout：过拟合参数p，默认为0
  • add_self_loops：GAT要求加入自环，即每个节点要与自身连接，默认为True
  • bias：偏差，默认为True
  • kwargs.setdefault('aggr', 'add')：邻域聚合方式，默认aggr='add'

  def __init__(self, in_channels: Union[int, Tuple[int, int]],
                   out_channels: int, heads: int = 1, concat: bool = True,
                   negative_slope: float = 0.2, dropout: float = 0.,
                   add_self_loops: bool = True, bias: bool = True, **kwargs):
          kwargs.setdefault('aggr', 'add')
          super(GATConv, self).__init__(node_dim=0, **kwargs)
  
          self.in_channels = in_channels
          self.out_channels = out_channels
          self.heads = heads
          self.concat = concat
          self.negative_slope = negative_slope
          self.dropout = dropout
          self.add_self_loops = add_self_loops
  
          if isinstance(in_channels, int):
          	# 如果是单个整数，那么邻域节点和目标节点公用同一组参数W
              self.lin_l = Linear(in_channels, heads * out_channels, bias=False)
              self.lin_r = self.lin_l
          else:
          	# 如果是tuple，那么邻域节点（source）使用参数W2，维度为in_channels[0]
          	# 目标节点（target）使用参数W1，维度为in_channels[1]
              self.lin_l = Linear(in_channels[0], heads * out_channels, False)
              self.lin_r = Linear(in_channels[1], heads * out_channels, False)
  		
  		# att_l和att_r对应公式中的a^T,l和r也是分别用于source node和target node
          self.att_l = Parameter(torch.Tensor(1, heads, out_channels))
          self.att_r = Parameter(torch.Tensor(1, heads, out_channels))
  		
          if bias and concat:
              self.bias = Parameter(torch.Tensor(heads * out_channels))
          elif bias and not concat:
              self.bias = Parameter(torch.Tensor(out_channels))
          else:
              self.register_parameter('bias', None)
  
          self._alpha = None
  
          self.reset_parameters()
  

• forward函数：

  参数说明：

  • x：Union[Tensor, OptPairTensor]：可以是Tensor，也可以是OptPairTensor (pyg定义的tuple of Tensor)。

  当图是bipartite的时候，x是OptPairTensor，为了和init函数中定义的in_channel对应，要使得：

  • source节点（邻居节点）特征对应x[0] ，在代码中赋值给x_l，in_channel[0]（$W_2$）定义为lin_l
  • target节点（中心节点）特征对应x[1]，在代码中赋值给 x_r，in_channel[1]（$W_1$）定义为lin_r

  • edge_index: Adj: Adj是pyg定义的邻接矩阵类型，可以是Tensor，也可以是SparseTensor。
  • return_attention_weights：是否返回注意力权重，默认为False

  def forward(self, x: Union[Tensor, OptPairTensor], edge_index: Adj,
                  size: Size = None, return_attention_weights=None):
      H, C = self.heads, self.out_channels
  
      x_l: OptTensor = None
      x_r: OptTensor = None
      alpha_l: OptTensor = None
      alpha_r: OptTensor = None
  
  	# 求注意力相关系数alpha_l和alpha_r
      if isinstance(x, Tensor):
          assert x.dim() == 2, 'Static graphs not supported in `GATConv`.'
          x_l = x_r = self.lin_l(x).view(-1, H, C)
          alpha_l = (x_l * self.att_l).sum(dim=-1)
          alpha_r = (x_r * self.att_r).sum(dim=-1)
      else:
          x_l, x_r = x[0], x[1]
          assert x[0].dim() == 2, 'Static graphs not supported in `GATConv`.'
          x_l = self.lin_l(x_l).view(-1, H, C)
          alpha_l = (x_l * self.att_l).sum(dim=-1)
          if x_r is not None:
              x_r = self.lin_r(x_r).view(-1, H, C)
              alpha_r = (x_r * self.att_r).sum(dim=-1)
  
      assert x_l is not None
      assert alpha_l is not None
  	
  	# 为邻接矩阵添加自环
      if self.add_self_loops:
          if isinstance(edge_index, Tensor):
              num_nodes = x_l.size(0)
              if x_r is not None:
                  num_nodes = min(num_nodes, x_r.size(0))
              if size is not None:
                  num_nodes = min(size[0], size[1])
              edge_index, _ = remove_self_loops(edge_index)
              edge_index, _ = add_self_loops(edge_index, num_nodes=num_nodes)
          elif isinstance(edge_index, SparseTensor):
              edge_index = set_diag(edge_index)
  	
  	# 最重要的步骤：计算注意力分数，并将注意力分数赋值给self._alpha，从而赋值给_alpha，并将self._alpha清空
      # propagate_type: (x: OptPairTensor, alpha: OptPairTensor)
      out = self.propagate(edge_index, x=(x_l, x_r),
                           alpha=(alpha_l, alpha_r), size=size)
  
      alpha = self._alpha
      self._alpha = None
  	
  	# 判断是否concat，如果不concat就表示是最后一层，要用mean
      if self.concat:
          out = out.view(-1, self.heads * self.out_channels)
      else:
          out = out.mean(dim=1)
  	
  	# 添加偏差
      if self.bias is not None:
          out += self.bias
  	
  	# 
      if isinstance(return_attention_weights, bool):
          assert alpha is not None
          if isinstance(edge_index, Tensor):
              return out, (edge_index, alpha)
          elif isinstance(edge_index, SparseTensor):
              return out, edge_index.set_value(alpha, layout='coo')
      else:
          return out
  
  

• message函数

  参数说明：

  • x_j：邻域节点，即source节点，x_l
  • alpha_j：邻域节点的注意力相关系数
  • alpha_i：目标节点的注意力相关系数
  • index：index是与source node相连的target node的标号，就是edge_index的第二行

  def message(self, x_j: Tensor, alpha_j: Tensor, alpha_i: OptTensor,
                  index: Tensor, ptr: OptTensor,
                  size_i: Optional[int]) -> Tensor:
      alpha = alpha_j if alpha_i is None else alpha_j + alpha_i
      alpha = F.leaky_relu(alpha, self.negative_slope)
      alpha = softmax(alpha, index, ptr, size_i)
      self._alpha = alpha
      alpha = F.dropout(alpha, p=self.dropout, training=self.training)
      return x_j * alpha.unsqueeze(-1)
  

2. GAT的实例

import torch
import math
from torch_geometric.nn import MessagePassing
from torch_geometric.nn import GATConv

from torch_geometric.utils import add_self_loops,degree
from torch_geometric.datasets import Planetoid
import ssl
import torch.nn.functional as F


class Net(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net,self).__init__()
        self.gat1=GATConv(dataset.num_node_features,8,8,dropout=0.6)
        self.gat2=GATConv(64,7,1,dropout=0.6)

    def forward(self,data):
        x,edge_index=data.x, data.edge_index
        x=self.gat1(x,edge_index)
        x=self.gat2(x,edge_index)
        return F.log_softmax(x,dim=1)


ssl._create_default_https_context = ssl._create_unverified_context
dataset = Planetoid(root='Cora', name='Cora')
x=dataset[0].x
edge_index=dataset[0].edge_index

device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
model = Net().to(device)
data = dataset[0].to(device)
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01, weight_decay=5e-4)

model.train()
for epoch in range(100):
    optimizer.zero_grad()
    out = model(data)
    loss = F.nll_loss(out[data.train_mask], data.y[data.train_mask])
    loss.backward()
    optimizer.step()

model.eval()
_, pred = model(data).max(dim=1)
correct = int(pred[data.test_mask].eq(data.y[data.test_mask]).sum().item())
acc = correct/int(data.test_mask.sum())
print('Accuracy:{:.4f}'.format(acc))
>>>Accuracy:0.7960

引用

文章参考了：

1. https://blog.csdn.net/weixin_44839047/article/details/115724958
2. https://blog.csdn.net/qq_41995574/article/details/99931294
3. https://blog.csdn.net/xiao_muyu/article/details/121762806
4. https://blog.csdn.net/StarfishCu/article/details/109644271