数学思维5：为什么人们会觉得数学很难？

数学思维

知识线索

你在今天学到，数学思维是我们人类的一种本能，我们本来是会用这种本能的，但在学校的教育中却把这种本能丢掉了。很多人觉得数学很难，这是因为数学是抽象思维。可是，人人都会抽象思维。我们可以把抽象思维分为四种层次，前三种层次的抽象思维我们每个人都能熟练地掌握，只有第四种层次的抽象思维是需要我们加强锻炼的。这种抽象思维是我们在学习哲学、数学的时候用得到的。怎样锻炼我们的数学思维能力呢？不妨跟数学家学习一下。数学家在解题的时候，能简化就简化，能形象化就形象化，从熟悉的题目求解不熟悉的题目，从简单的题目求解复杂的题目，这就是提升数学思维的必由之路。

知识内容

1.数学思维是一种本能

我们已经讲到，数学思维其实是我们的一种本能。我们的祖先在非洲的森林和草原上时，为了生存，需要辨别哪棵树上的果实最多，需要辨别来找他们打架的另一个群体是否人数更多，不，猿数更多。我们的祖先曾经生活在树上，经常需要在树枝间跳来跳去，他们需要很好的三维空间意识。当他们到了开阔的草原上，需要判断距离的远近，这就要求有二维空间意识。随着他们的生存环境变得越来越复杂，我们的祖先开始具有判断因果关系的意识。

这些都是最早的数学思维。但是，为什么自然而然出现的数学思维，最终并没有固化到我们的日常思维中呢？为什么我们大部分人还是觉得数学太难了呢？这里的关键是抽象。抽象是数学的工具箱中最具有威力的工具。只要有机会，数学家就会尝试抽象。到最后，他们就会彻底忘掉真实世界，专注于抽象的定义和概念。

2.被遗忘的抽象思维能力

我再告诉你一个秘密。其实，儿童在小的时候都是有非常强的抽象思维能力的。如果没有抽象思维能力，孩子是不可能在短短一两年的时间内学会语言的。

同样，孩子在学习算术的时候，其实也是在运用抽象思维能力。孩子们之所以在学校里觉得数学难，很可能不是数学真的难，而是学校的教育方式有问题。教育学家在巴西做过一个实验，他们发现贫民窟学校里的孩子，有的数学成绩好，有的成绩不好，但这些孩子都有一个共同的特点，他们家里都很穷，孩子们下了课要帮着爸妈在市场上摆摊卖东西。在摆摊卖东西的时候，这些孩子都很会算账，数学能力都很棒，而且他们的这种数学能力跟在学校里的数学成绩之间是没有关系的。这说明数学能力是在应用中培养出来的。我们会看到有一些常年做出纳、会计、售货员这些工作的人，他们必须要跟数字打交道，所以日久天长，就锻炼出对数字的敏感，以及非常强的计算能力。

遗憾的是，在学校里，我们并不注重数学的运用，也不知道怎么培养学生的数学思维能力，于是，等学生到了高中开始学代数，或者是到了大学要学微积分的时候，会丧失本能的抽象思维能力，他们就会觉得数学太难了。不仅如此，学生们还会觉得，自己根本掌握不了数学这门学问，于是，这就变成了一种自我实现的预言。

3.四种抽象思维的层次

抽象思维到底是怎么一回事，我们怎样才能一层层拾级而上，达到更高的抽象思维境界。

我们可以把抽象思维分为四个层次。第一个层次的抽象思维是“眼见为实”的抽象。一把椅子，本来放在房间的这一边，然后被挪到房间的另一边。这还是那把椅子吗？是的，这还是同一把椅子。在作出这样的判断的时候，你其实已经运用了初级的抽象思维，而这种抽象思维能力，是不少动物都能够掌握的。这种抽象思维思考的各种事物，是在当前环境下能够见到的真实的事物。

第二个层次的抽象思维是“想到为实”的抽象。我告诉你马。你现在待的房间里没有马，但这不妨碍你想象出一匹马的样子。你和你的父母已经分开一段时间了，但你还是能够想到他们的音容笑貌。你以前养过一只小狗，后来送人了，但你还是能够记得当时和它在一起的日子。这种抽象思维是指，我们所思考的事物，是你不能在当前环境下亲眼所见，但却是你原本熟悉的事物。

第三种层次的抽象思维是“眼见为虚”的抽象。到这一层级，就只有人类才能拥有了。我们思考的事物在现实世界中其实是没有的，但我们能够虚构出来。比如，这个世界上没有龙，但是我们可以把各种动物的特征融为一体，创造出一种神兽。图腾是一种虚幻，神话也是一种虚幻。这都是有了概念之后，抽象出来的事物。

第四种层次的抽象思维是“想到为虚”的抽象。这才是数学思维的层次。数学对象是全然抽象的，它们同现实世界没有简单或者是直接的联系。我们在数学中用到的概念，比如“0”，比如虚数，你仔细想想，在现实中是没有这些东西的。这是一种更高层次的抽象。

进入到第四境界的抽象，你会发现，抽象之上还有抽象。比如说，你在小学一年级就知道，1+2=2+1，这叫交换律，你还会学到结合律、分配律。再大一点，学到乘法的时候，你又学会，1*2=2*1。再大一点，你开始学几何。你会发现，圆也是对称的，把圆的一半换到另一半，圆还是不变的。等到你学函数的时候，你会学到函数的交换律和结合律，等你学集合论的时候，两个集合之间也有交换律、结合律和分配律。等到你学到线性代数的时候，是不是又要讨论矩阵的交换律？如果你上的是数学系，学到群论的时候，是不是又要讲在什么时候下，群能满足交换律？你再想想，数学的本质是不是一以贯之的？数学就是一种关于模式的科学，有的模式相对简单，有的模式相对复杂，复杂的模式不过是模式的模式，甚至是模式的模式的模式，于是，我们就开始糊涂了。

4.数学家是如何解题的

著名数学家波利亚谈到，解题有一些基本的技巧。

首先，从熟悉的题目出发。在解题的时候，首先要想一想有没有你已经知道的非常熟悉的数学题。从熟悉的题目开始，再进行更为复杂的推理。

其次，把复杂的题目简化。当你遇到一个看起来很复杂的题目时，首先要想怎样把它简化。先作出最简单的假设，即使这样的假设是非常荒谬的。从最简单的模型出发，一步步地再把它复杂化。从最特殊的例子出发，再一步步地把它一般化。

再次，把抽象的题目形象化。有很多数学家的天分并不是抽象思维能力，而是形象思维能力。他们本能地会从几何的角度找到代数的答案。形象思维和抽象思维并不矛盾，形象思维发达，会有助于你提升抽象思维。

总之，我们可以把数学设想为一个由乐高积木搭成的雄伟建筑。尽管看起来非常复杂，但如果仔细去看，你会发现它是由一个一个简单的模块拼装起来的。

数学的本质思想就是简单的东西是复杂的，而复杂的东西其实是简单的。