【数学知识】一文学会算法中的数学知识（1.1）

目录

一.数论

1.质数

(1)质数的判断

(2)分解质因数（数=几个质数相乘）

(3)求1-n的所有质数    

 2.约数

(1)试除法求所有约数

(2)约数个数和约数之和 

(3)最大公约数（欧几里得算法 ）

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一.数论

1.质数

在大于1 的整数，只包含1和本身这两个约数，则称为质数（素数）  2 3 5 7 11 13 17

(1)质数的判断

试除法(优化)枚举到根号x   O(根号x)      

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )   //以前是i

(2)分解质因数（数=几个质数相乘）

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )   //x/i即sqrt复杂度
        if (x % i == 0)  //i一定是质数
        {
            int s = 0;   //计数
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}



//eg
//x=6
// 2  1
// 3  1

//x=3
// 3  1   这里用到了x>1语句，因为直接跳出for循环x/i，只能另外判断

(3)求1-n的所有质数 
   

埃式筛法O(nloglogn) 

先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去…。
如图：

算法核心：把每个质数的所有倍数筛掉 

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉  默认false


void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue; //st如果是true 说明被筛过，那么它的倍数肯定被筛过，所以直接跳过
        
        //接下来对该质数的所有倍数进行筛选
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

 2.约数

什么是约数？
约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。

 

(1)试除法求所有约数

暴力来解决这个问题很简单，就是从1开始遍历到n即可

for(int i = 1; i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0) res.push_back(i);
    }

 通过对质数的学习，我们知道一个数的因数即约数是成对出现的，所以我们同样可以用试除法，计算小的约数，并将大的约数添加到答案里，注意判断一下两者是否相同避免重复即可。

for(int i = 1; i <= x / i; i++)
            if(x % i == 0)
            {
                res.push_back(i);
                if(i != x/i) res.push_back(x/i);
            } 

给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。

数据范围

1≤n≤100,
2≤ai≤2×1e9

输入样例：

2
6
8

输出样例：

1 2 3 6 
1 2 4 8 

#include
#include
#include
 
using namespace std;
 
int n;
 
int main()
{
    cin>>n;
    
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        vector res;
        
        for(int i = 1; i <= x / i; i++)
            if(x % i == 0)
            {
                res.push_back(i);
                if(i != x/i) res.push_back(x/i);
            } 
        
        sort(res.begin(), res.end());
        
        for (auto k : res) cout << k << ' ';
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

 

(2)约数个数和约数之和 

如果一个数N分解质因数为 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck     （p为质数）
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)

example   36=2*2*3*3=2^2   *   3^2

                  36的约数为  2^0*3^0   2^0*3^1  2^0*3^2  2^1*3^0  2^1*3^1 …………2^2*3^2

                  只需改变质因数的个数，就会多一个约束

                   一共（2+1）（2+1）=   9种

 

代码实现的思路：
1、在每次输入一个数时，分解其质因数，将其出现的次数保存起来；
2、遍历保存质因数的表，将每个质因数出现的次数+1再相乘即可（即约数个数公式）。

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9+7;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    unordered_map primes;
    // 每次将输入的数分解质因数，质因数放在primes中
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) // 分解质因数
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }

        if (x > 1) primes[x] ++ ; // 保存最后一个质因数
    }
        LL res = 1;
        for(auto p : primes) res = res*(p.second+1) % mod;
        cout << res << endl;
        return 0;
}

约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck) 

对于约数个数那个式子，它所选取的括号里的每一个p也是不同的，即分解后的每一个乘积式子都可以看作一个数，这样我们就将所有约数的和求出了。 

//约数之和，则只用改这个for循环即可
for (auto prime : primes)
    {
        LL p = prime.first, a = prime.second;
        LL t = 1;
        while (a--) t = (t * p + 1) % mod;
        //还要算0次方，算0次方就直接加1了，然后从一次方算方便些
        /*计算一下：
        第一步：
        t = (t * a + 1)
        t=p1的一次方+p1的零次方；
        第二步：
        t = (t * a + 1)
        t=p1的二次方+p1的一次方+1=p1的二次方+p1的一次方+p1的零次方；
        */
        res = res * t % mod;
    }

(3)最大公约数（欧几里得算法 ）

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}