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概率机器学习笔记

1.单变量高斯混合分布

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原书对结果的得出没有给出解释，我比较困惑，网上找到了一篇推导的帖子，看完就明白了。

式2.49的解释:

红框即为关键处，这是显而易见的期望，不过是条件方差的期望：

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该证明的作者：@MISC {16609,
    TITLE = {What is the variance of the weighted mixture of two gaussians?},
    AUTHOR = {whuber (https://stats.stackexchange.com/users/919/whuber)},
    HOWPUBLISHED = {Cross Validated},
    NOTE = {URL:https://stats.stackexchange.com/q/16609 (version: 2015-05-20)},
    EPRINT = {https://stats.stackexchange.com/q/16609},
    URL = {https://stats.stackexchange.com/q/16609}
}

这是一个完美的 \mathbb{V}\left[X\right]=E_Y\left[\mathbb{V}\left.\left[X\mid Y\right]\right]+\mathbb{V}_Y\left[\begin{array}{c}\mu_{X\mid Y}\end{array}]\right.\right.的推导。

E_Y\left[\mathbb{V}\left.\left[X\mid Y\right]\right]\right.=\sum_i{p_i \sigma^2_i}

\mathbb{V}_Y\left[\begin{array}{c}\mu_{X\mid Y}\end{array}]\right.={\sum_i{p_i\left(\mu_i^{(1)}\right)^2}-\left(\sum_i{p_i\mu_i^{(1)}}\right)^2.}

式2.50的解释：

在刚刚的推导里如下公式，按这个也可以解

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但是作者的思路用了\overline{\mu}，这就让人看不懂，所以询问了GPT，GPT给出了解答： 

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 这两个证明都是基于直觉的，所以容易理解。

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