签到（线性基）

题目描述

有一个$n\times m$的网格，第$i$行第$j$列的格子我们记作$(i,j)$。每个格子上都有一个数字，$(i,j)$上的数字为$a_{i,j}$。你现在在$(1,1)$，你想走到$(n,m)$处签到，每次你可以走到上下左右四个相邻的格子中的一个，当然，你不能走出网格。你现在的心情值为$a_{1,1}$，你的心情飘忽不定，你每走一步，你的心情值就会异或上走到的格子上的数字。你希望你签到的时候心情最好，为此你可以任意绕远路，甚至可以走到签到处的时候暂时不签到。请你求出最大的心情值。

输入格式

第一行两个正整数$n,m$。

接下来$n$行，每行$m$个非负整数，其中第$i$行第$j$个整数表示$a_{i,j}$。

输出格式

输出一个整数，表示答案。

输入样例

2 2
1 2
3 4

输出样例

7

数据范围

对于$30\%$的数据，$n,m\le 4$
对于另外$30\%$的数据，$n,m\le 100,a_{i,j}\le 1000$
对于$100\%$的数据，$n,m\le 500,a_{i,j}\le 10^9$

题解

前置知识：线性基

首先，因为可以到签到点而不签到，那么沿任意一条路到达签到点后，对于点$(i,j)$，我们可以沿任意一条路走到点$(i,j)$，然后原路返回。那么走一次之后，心情值就异或上了$a_{i,j}\oplus a_{n,m}$。

如果我们不考虑$a_{n,m}$，那么其他的$a$值其实是可以任意选来求异或和的。然后，我们发现选中的点的奇偶性是不变的，而从$(1,1)$走到$(n,m)$的路可以确定其奇偶性，那么

• 如果$n+m$是奇数，那么选中的点的个数为偶数
  • 若除了$a_{n,m}$的被选中的点的个数为奇数，那么$a_{n,m}$被选中
  • 若除了$a_{n,m}$的被选中的点的个数为偶数，那么$a_{n,m}$不被选中
• 如果$n+m$是偶数，那么选中的点的个数为奇数
  • 若除了$a_{n,m}$的被选中的点的个数为奇数，那么$a_{n,m}$不被选中
  • 若除了$a_{n,m}$的被选中的点的个数为偶数，那么$a_{n,m}$被选中

我们可以提前将所有不是$a_{n,m}$的$a_{i,j}$的值异或上$a_{n,m}$，那么

• 如果选中的点的个数为偶数，那么答案就是异或和的最大值
• 如果选中的点的个数为偶数，那么答案就是异或和再异或$a_{n,m}$后的最大值

那怎么求异或和的最大值呢？用线性基即可。

那么如何求异或和再异或$a_{n,m}$后的最大值呢？在线性基中，将$ans$的初始值设为$a_{n,m}$即可。

时间复杂度为$O(nm\log mx)$，其中$mx$为$a_{i,j}$的最大值。

code

#include
using namespace std;
int n,m,ct,lst,ans,a[505][505],b[105],c[500005];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	lst=a[n][m];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			a[i][j]^=lst;
			c[++ct]=a[i][j];
		}
	}
	--ct;
	for(int i=1;i<=ct;i++){
		for(int j=30;j>=0;j--){
			if((c[i]>>j)&1){
				if(!b[j]){
					b[j]=c[i];break;
				}
				c[i]^=b[j];
			}
		}
	}
	if((n+m)%2==0) ans=lst;
	for(int i=30;i>=0;i--){
		if((ans^b[i])>ans) ans=ans^b[i];
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}